（新课标）高考数学大一轮复习 7.7.2利用空间向量求空间角课时作业 理.DOC

课时作业51利用空间向量求空间角1(2014福建卷)在平面四边形abcd中，abbdcd1，abbd，cdbd.将abd沿bd折起，使得平面abd平面bcd，如图(1)求证：abcd；(2)若m为ad中点，求直线ad与平面mbc所成角的正弦值解：(1)平面abd平面bcd，平面abd平面bcdbd，ab平面abd，abbd，ab平面bcd.又cd平面bcd，abcd.(2)过点b在平面bcd内作bebd，如图由(1)知ab平面bcd，be平面bcd，bd平面bcd，abbe，abbd.以b为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，得b(0,0,0)，c(1,1,0)，d(0,1,0)，a(0,0,1)，m(0，)，则(1,1,0)，(0，)，(0,1，1)设平面mbc的法向量n(x0，y0，z0)，则即取z01，得平面mbc的一个法向量n(1，1,1)设直线ad与平面mbc所成角为，则sin|cosn，|，即直线ad与平面mbc所成角的正弦值为.2(2014天津卷)如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adab，abdc，addcap2，ab1，点e为棱pc的中点(1)证明：bedc；(2)求直线be与平面pbd所成角的正弦值；(3)若f为棱pc上一点，满足bfac，求二面角fabp的余弦值解：依题意，以点a为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得b(1,0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)由e为棱pc的中点，得e(1,1,1)(1)证明：向量(0,1,1)，(2,0,0)，故0.所以，bedc.(2)向量(1,2,0)，(1,0，2)设n(x，y，z)为平面pbd的法向量，则即不妨令y1，可得n(2,1,1)为平面pbd的一个法向量于是有cosn，.所以，直线be与平面pbd所成角的正弦值为.(3)向量(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由点f在棱pc上，设，01.故(12，22，2)由bfac，得0，因此，2(12)2(22)0，解得.即.设n1(x，y，z)为平面fab的法向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3,1)为平面fab的一个法向量取平面abp的法向量n2(0,1,0)，则cosn1，n2.易知，二面角fabp是锐角，所以其余弦值为.3在长方体abcda1b1c1d1中，ab，ad1，m是线段ad的中点(1)试在平面abcd内过m点作出与平面a1b1cd平行的直线l，说明理由，并证明：l平面aa1d1d；(2)若(1)中的直线l交直线ac于点n，且二面角aa1nm的余弦值为，求aa1的长解：(1)在平面abcd内过m点作直线ldc，l平面a1b1cd，dc平面a1b1cd，l平面a1b1cd.在长方体abcda1b1c1d1中，dcad，dcdd1，则lad，ldd1.又addd1d，l平面aa1d1d.(2)由(1)知，ldc且m是线段ad的中点，n是线段ac的中点设aa1h，以a1为坐标原点，分别以a1b1，a1d1，a1a所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系a1xyz.则a1(0,0,0)，a(0,0，h)，n(，h)，m(0，h)(0,0，h)，(，h)，(0，h)，(，0,0)设平面a1an的法向量n1(x1，y1，z1)，则，取x11，n1(1，0)设平面a1mn的法向量n2(x2，y2，z2)，则，取z21，n2(0，2h,1)二面角aa1nm的余弦值为，cosn1，n2，即，解得h1，即aa11.1等边三角形abc的边长为3，点d、e分别是边ab、ac上的点，且满足(如图1)将ade沿de折起到a1de的位置，使二面角a1deb为直二面角，连接a1b、a1c(如图2)(1)求证：a1d平面bced；(2)在线段bc上是否存在点p，使直线pa1与平面a1bd所成的角为60？若存在，求出pb的长，若不存在，请说明理由解：(1)证明：因为等边abc的边长为3，且，所以ad1，ae2.在ade中，dae60，由余弦定理得de.因为ad2de2ae2，所以adde.折叠后有a1dde，因为二面角a1deb是直二面角，所以平面a1de平面bced，又平面a1de平面bcedde，a1d平面a1de，a1dde，所以a1d平面bced.(2)由(1)的证明，可知eddb，a1d平面bced，以d为坐标原点，以射线db、de、da1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系dxyz如右图，设pb2a(02a3)，过p作phde，则bha，pha，dh2a，所以a1(0,0,1)，p(2a，a,0)，e(0，0)，所以(a2，a,1)，因为ed平面a1bd，所以平面a1bd的一个法向量为(0，0)，因为直线pa1与平面a1bd所成的角为60，所以sin60，解得a，即pb2a，满足02a3，符合题意，所以在线段bc上存在点p，使直线pa1与平面a1bd所成的角为60，此时pb.2如下图，abc中，ab2，bc1，abc90，d，e分别为ab，ac上的点，debc，将ade沿de折到ade的位置，使平面ade平面bced.(1)当d为ab的中点时，设平面abc与平面ade所成的二面角的平面角为(0)，直线ac与平面ade所成角为，求tan()的值；(2)当d点在ab边上运动时，求四棱锥abced体积的最大值解：(1)db，de，da两两垂直，故以点d为原点db，de，da所在直线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系(如图)，则d(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，e(0，0)，a(0,0,1)(1,0，1)，(0,1,0)，设平面abc的一个法向量为n(x，y，z)由得，故可取n(1,0,1)，又平面ade的一个法向量为(1,0,0)cos|cosn，|，tan1由于平面ade的一个法向量为(1,0,0)，ca(1，