（江苏专用）高考数学 专题8 立体几何与空间向量 61 空间角与空间距离的求解 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题8 立体几何与空间向量 61 空间角与空间距离的求解 理训练目标(1)会求线面角、二面角；(2)会解决简单的距离问题.训练题型(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距离.解题策略利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解.1.(2015上海闵行区三模)如图，在底面是边长为a的正方形的四棱锥pabcd中，已知pa平面abcd，且paa，则直线pb与平面pcd所成的角的余弦值为_2(2015邯郸上学期教学质量检测)在正四棱锥pabcd中，pa2，直线pa与平面abcd所成角为60，e为pc的中点，则异面直线pa与be所成的角为_3.如图所示，在三棱锥sabc中，abc是等腰三角形，abbc2a，abc120，sa3a，且sa平面abc，则点a到平面sbc的距离为_4(2015丽水二模)如图，在正方体abcda1b1c1d1中，点m为平面abb1a1的中心，则mc1与平面bb1c1c所成角的正切值为_5如图所示，在三棱锥sabc中，sbc，abc都是等边三角形，且bc1，sa，则二面角sbca的大小为_6.如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，点p在线段ad1上运动，给出以下命题：异面直线c1p与cb1所成的角为定值；二面角pbc1d的大小为定值；三棱锥dbpc1的体积为定值；异面直线a1p与bc1间的距离为定值其中真命题的个数为_7(2015辽宁沈阳二中月考)如图，在abc中，abc45，点o在ab上，且obocab，po平面abc，dapo，daaopo.(1)求证：pb平面cod；(2)求二面角ocda的余弦值8(2015宁波二模)如图，正四棱锥sabcd中，saab2，e，f，g分别为bc，sc，cd的中点设p为线段fg上任意一点(1)求证：epac；(2)当p为线段fg的中点时，求直线bp与平面efg所成角的余弦值9(2015安徽江南十校上学期期末大联考)如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa底面abcd，且pb与底面abcd所成的角为45，e为pb的中点，过a，e，d三点的平面记为，pc与的交点为q.(1)试确定q的位置并证明；(2)求四棱锥pabcd被平面所分成上下两部分的体积之比；(3)若pa2，截面aeqd的面积为3，求平面与平面pcd所成的锐二面角的正切值答案解析1.解析设b到平面pcd的距离为h，直线pb与平面pcd所成的角为，则由等体积法可得aahaaa，ha.又pba，sin ，又(0，)，cos .245解析如图，连结ac，bd交于点o，连结oe，op.因为e为pc中点，所以oepa，所以oeb即为异面直线pa与be所成的角因为四棱锥pabcd为正四棱锥，所以po平面abcd，所以ao为pa在平面abcd内的射影，所以pao即为pa与平面abcd所成的角，即pao60.因为pa2，所以oaob1，oe1.所以在直角三角形eob中，oeb45，即异面直线pa与be所成的角为45.3.解析作adcb交cb的延长线于点d，连结sd，如图所示sa平面abc，bc平面abc，sabc.又bcad，saada，sa平面sad，ad平面sad，bc平面sad，又bc平面sbc，平面sbc平面asd，且平面sbc平面asdsd.在平面asd内，过点a作ahsd于点h，则ah平面sbc，ah的长即为点a到平面sbc的距离在rtsad中，sa3a，adabsin 60a.由，得ah，即点a到平面sbc的距离为.4.解析如图，过点m作bb1的垂线，垂足为n，则mn平面bb1c1c，连结nc1，则mc1n为mc1与平面bb1c1c所成的角设正方体的棱长为2a，则mna，nc1a，所以tanmc1n.560解析取bc的中点o，连结so，ao，因为abac，o是bc的中点，所以aobc，同理可证sobc，所以soa是二面角sbca的平面角在aob中，aob90，abo60，ab1，所以ao1sin 60.同理可求so.又sa，所以soa是等边三角形，所以soa60，所以二面角sbca的大小为60.64解析对于，因为在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，点p在线段ad1上运动，在正方体中有b1c平面abc1d1，而c1p平面abc1d1，所以b1cc1p，所以这两个异面直线所成的角为定值90，故正确；对于，因为二面角pbc1d的实质为平面abc1d1与平面bdc1所成的二面角，而这两个平面为固定不变的平面，所以夹角也为定值，故正确；对于，三棱锥dbpc1的体积还等于三棱锥pdbc1的体积，而dbc1面积一定，又因为pad1，而ad1平面bdc1，所以点a到平面dbc1的距离即为点p到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，故正确；对于，因为直线a1p和bc1分别位于平面add1a1，平面bcc1b1中，且这两个平面平行，由异面直线间的距离定义及求法，知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离，所以这两个异面直线间的距离为定值，故正确7(1)证明因为po平面abc，adpo，ab平面abc，所以poab，daab.又daaopo，所以aod45.因为obab，所以oaab，所以oaob，又aopo，所以obop，所以obp45，即odpb.又pb平面cod，od平面cod，所以pb平面cod.(2)解如图，过a作amdo，垂足为m，过m作mncd于n，连结an，则anm为二面角ocda的平面角设ada，在等腰直角三角形aod中，得ama，在直角三角形cod中，得mna，在直角三角形amn中，得ana，所以cosanm.8(1)证明设ac交bd于o，sabcd为正四棱锥，so底面abcd，bdac，又ac平面abcd，soac，bdsoo，ac平面sbd，e，f，g分别为bc，sc，cd的中点，fgsd，bdeg.又fgegg，sdbdd，平面efg平面bsd，ac平面gef.又pe平面gef，peac.(2)解过b作bhge于h，连结ph，bdac，bdgh，bhac，由(1)知ac平面gef，则bh平面gef.bph就是直线bp与平面efg所成的角在rtbhp中，bh，ph，pb，故cosbph.9解(1)q为pc的中点证明如下：因为adbc，ad平面pbc，bc平面pbc，故ad平面pbc.又由于平面平面pbceq，故adeq，所以bceq.又e为pb的中点，故q为pc的中点(2)如图，连结eq，dq，因为pa底面abcd，所以pb与底面abcd所成的角为pba45.故paab.又因为e为pb的中点，所以peae.因为四边形abcd是矩形，所以adab.又pa底面abcd，ad底面abcd，所以adpa.又paaba，所以ad平面pab，又pe平面pab，所以adpe.又aeada，ae平面，ad平面，故pe平面.设pah，ad2a，设四棱锥pabcd被平面所分成的上下两部分的体积分别为v1和v2，则eqa.又因为ad平面pab，ae平面pab，所以adae.v上pes梯形aeqd(a2a)，v下pas底面abcdv上h2ah，所以.(3)过e作efdq，连结pf，因为pe平面，所以pedf.又由于efpee，所以df平面pef，则dfpf.