直线中的对称问题.ppt

对称与最值的探究 2 如何求P 1 2 关于直线2x y 1 0的对称点Q的坐标 复习 在某东西方向公路边有一村庄M 在M村的北偏西30o方向且与M村相距1000米处有一村A 在M村的北偏东60o的方向且相距800米处有一村B A庄的村民主要靠每天外出打工 做生意获得收入 B庄的村民主要靠种菜 卖菜获得收入 前几年 风调雨顺 两村村民都忙于自己的生活 没有意识到脚下的泥土路给生活带来的不便 今年8 9两月的连绵秋雨 使两村村民深受交通不便之苦 于是他们集资修路 拟定在公路上找一C处 由C向两村分别修路 为了使修路费用最低 C处应如何选择 问题 已知直线l y x A 1 2 B 2 4 C 3 1 1 在直线l上求一点P使 PB PC 最小 2 在直线l上求一点Q使 QA QB 最小 一类最值问题探究 解 1 连接BC交l于P 在l上任取一异于P的点P1 连P1B P1C 则 P1B P1C BC BP PC P点为所求的点 B 2 4 C 3 1 直线BC的方程为 y 3x 10 即直线l上的点P 2 5 2 5 使 PA PB 最小 2 做点A关于直线y x的对称点A1 连接A B交l于Q 在l上任取一异于点Q的点Q1 连接AQ AQ1 A1Q1 BQ1 则 AQ1 BQ1 A1Q1 BQ1 A1B A1Q BQ AQ BQ 点Q使 AQ BQ 最小 A 1 2 A1 2 1 又B 2 4 直线A1B方程为x 2 即Q 2 2 直线l上的点Q使 AQ BQ 最小 归纳总结 已知平面内有两个定点A B和一条定直线l 1 当A与B在直线l异侧时 线段AB与l的交点P使 PA PB 最小 且最小值为 AB 2 当A B在直线l的同侧时 作A 或B 关于l的对称点A1 或B1 则线段A1B 或AB1 与l的交点P使 PA PB 最小 且最小值为 A1B AB1 练习 已知直线l x y 0 点A 3 0 B 0 5 试在l上求一点P使 PA PB 最小 解 以公路为x轴 以M村为原点 建立直角坐标系 如图 作A关于x轴的对称点A1 连A1B交x轴于C 则C使 CA CB 最小 直线A1B的方程为 x 500 由y 0 得x 316 C 316 0 答 当C处选在M村正东316米时可使修路费用最低 注 坐标法的应用 解 则y表示动点M x 0 到定点A 3 3 和B 5 1 距离之和 而A B位于直线y 0的同侧 故作点A关于y 0的对称点A1 A1 3 3 连A1B交y 0于P 则P使 PA PB A1B 最小 即y最小值为 A1B 由A1 3 3 B 5 1 得 由y 0 得x 3 P 3 0 注 等价转化 数形结合 例3 课堂小结 1 同一平面内 在定直线l上求点P使P到两定点A B距离和最小的方法 2 探究过程中 1 坐标法使数和形有机的结合起来 充分体现了数形结合的思想 2 类比联想和等价转化使问题的解决找到了突破口 作业 1 课外实践 请从身边生活中搜集一个今天所讨论问题的实例 已知l