2016年高考导数试题及答案(精选).doc

1.(新课标1)已知函数fx=x-2ex+a(x-1)2有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x20时， (II)证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为，求函数 的值域.解：（）的定义域为.且仅当时，所以在单调递增，因此当时，所以（II）由（I）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为于是，由单调递增所以，由得因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有，的值域是3. (新课标3)设函数f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1），其中a0，记f（x）的最大值为A.（）求f（x）；（）求A；（）证明f（x）2A.解：（）（）当时，因此，当时，将变形为令，则是在上的最大值，且当时，取得极小值，极小值为令，解得（舍去），（）当时，在内无极值点，所以（）当时，由，知又，所以综上，（）由（）得.当时，.当时，所以.当时，所以.4(山东 )已知. （I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立解（）的定义域为；.当， 时，单调递增；，单调递减.当时，.（1），当或时，单调递增；当时，单调递减；（2）时，在内，单调递增；（3）时，当或时，单调递增；当时，单调递减. 综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（）由（）知，时，令，.则，由可得，当且仅当时取得等号.又，设，则在单调递减，因为，所以在上存在使得 时，时，所以函数在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以，即对于任意的恒成立。5.(天津)设函数，R，其中，R.（）求的单调区间；（）若存在极值点，且，其中，求证：；（）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于解：（）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得，或.当变化时，的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（）证明：因为存在极值点，所以由（）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（）知，存在唯一实数满足 ，且，因此，所以；（）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：（1）当时，由（）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此，所以.（2）当时，由（）和（）知，所以在区间上的取值范围为，因此.（3）当时，由（）和（）知，所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.6(江苏) 已知函数f(x)= .（1） 设a=2,b=.求方程=2的根;若对任意,不等式恒成立，求实数m的最大值；（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.解（1）因为，所以.方程，即，亦即，所以，于是，解得.由条件知.因为对于恒成立，且，所以对于恒成立.而，且，所以，故实数的最大值为4.（2）因为函数只有1个零点，而，所以0是函数的唯一零点.因为，又由知，所以有唯一解.令，则，从而对任意，所以是上的单调增函数，于是当，；当时，.因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.下证.若，则，于是，又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.因此，.于是，故，所以.7. （四川）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a R. （I）讨论f(x)的单调性；（II）确定a的所有可能取值，使得f(x)-e1-x+在区间（1，+）内恒成立(e=2.718为自然对数的底数)。解（I） 0，在内单调递减.，由=0，有.此时，当时，0，单调递增.（II）令=，=.则=.而当时，0，所以在区间内单调递增.又由=0，有0，从而当时，0.当，时，=.故当在区间内恒成立时，必有.当时，1.由（I）有,从而，所以此时在区间内不恒成立.当时，令，当时，因此，在区间单调递增.又因为，所以当时， ，即 恒成立.综上，8(浙江)设，函数,其中（）求使得等式成立的x的取值范围（）（i）求的最小值 （ii）求在上的最大值 解（I）由于，故当时，当时，所以，使得等式成立的的取值范围为（II）（i）设函数，则，所以，由的定义知，即（ii）当时，当时，所以，9（北京）设函数f(x)=xe +bx，曲线y=f(x)d hko (2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4，（I）求a,b的值； (I I) 求f(x)的单调区间。解：（）因为，所以.依题设，即解得.（）由（）知.由即知，与同号.令，则.所以，当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而.综上可知，故的单调递增区间为.10（上海）已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.解：（1）由，得，解得（2），当时，经检验，满足题意当时，经检验，满足题意当且时，是原方程的解当且仅当，