闭区间上连续函数的性质(77).ppt

1 10闭区间上连续函数的性质1 ContinuousFunctionsonaClosedInterval 1 10闭区间上连续函数的性质 1 10闭区间上连续函数的性质2 函数f x 在闭区间 a b 上连续是指f x 在该区间内的每一个点都连续 并且在两个端点单侧连续 闭区间 a b 上的连续函数y f x 的图形是一条从点A a f a 到点B b f b 的连续不间断的曲线 1 10闭区间上连续函数的性质3 f x 在开区间 a b 上连续但在闭区间 a b 上不连续 1 10闭区间上连续函数的性质4 一 有界性和最值性 1 10闭区间上连续函数的性质5 定理1 有界性定理 在闭区间 a b 上的连续函数f x 在该区间上是有界的 存在实数A和B 使得 1 10闭区间上连续函数的性质6 证明 这个看似简单的定理的证明 其证明较难 涉及较多的实数和分析理论 证明从略有兴趣的同学可以参考 数学分析 中的证明 例如 江泽坚 数学分析 上册 66页 证明 1 10闭区间上连续函数的性质7 定理1 最值定理 在闭区间 a b 上的连续函数f x 一定能在该区间上取得最大的函数值和最小的函数值 1 10闭区间上连续函数的性质8 证明 最值性可以用有界性加以证明 仍然有一定难度 有兴趣的同学可以参考 数学分析 中的证明 例如 江泽坚 数学分析 上册 67页 证明 1 10闭区间上连续函数的性质9 仅在开区间上连续的函数不一定能够取到最大 最小 的函数值 也不一定有界 注意 例如函数y x在 0 1 内连续 但它不能取到最大和最小的函数值 1 10闭区间上连续函数的性质10 又如函数y 1 x在开区间 0 1 上连续 但无界 1 10闭区间上连续函数的性质11 二 零点定理与介值定理 1 10闭区间上连续函数的性质12 定理2 零点定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且f a 与f b 异号 则在区间 a b 内至少存在一点 使得f 0 这个点称为函数f x 的零点 或方程f x 0的根 1 10闭区间上连续函数的性质13 零点定理的几何解释 1 10闭区间上连续函数的性质14 零点定理的几何解释 Ithasthreeroots 1 10闭区间上连续函数的性质15 证明 同样 这个看上去很显然的结论 其证明不简单 涉及较多的实数和分析理论 证明利用了所谓的闭区间套技术 证明从略有兴趣的同学可以参考 数学分析 中的证明 例如 江泽坚 数学分析 上册 68页 证明 1 10闭区间上连续函数的性质16 在闭区间上不连续的函数不一定有零点 注意 瞧 这个函数就没有零点 1 10闭区间上连续函数的性质17 定理3 介值定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且M和m分别是函数在 a b 上的最大值和最小值 则对任何介于M和m值的数C 在区间 a b 内至少存在一点 使得f C 将零点定理加以推广 得到介值定理 1 10闭区间上连续函数的性质18 介值定理的几何解释 1 10闭区间上连续函数的性质19 介值定理的几何解释 即函数f x 的值域为 m M 介值定理实质是说明值域f a b 是一个没有缝隙的连通区间 1 10闭区间上连续函数的性质20 定理3 介值定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且M和m分别是函数在 a b 上的最大值和最小值 则对任何介于M和m值的数C 在区间 a b 内至少存在一点 使得f C 证明思路 有零点 作辅助函数 再用零点定理即可 自学 1 10闭区间上连续函数的性质21 证明 方程 在开区间 0 1 内至少有一个根 例1 解 令 则函数在闭区间 0 1 上连续 又 由零点定理 该方程在 0 1 内至少有一个根 1 10闭区间上连续函数的性质22 方程 在开区间 0 1 内至少有一个根 讨论 能不能判断方程还在哪些区间上有根 1 10闭区间上连续函数的性质23 with plots A plot x 3 4 x 2 1 x 3 5 y 10 3 color red thickness 3 B plot exp x x 2 3 y 0 01 3 color blue thickness 3 C plot x x 1 2 5 y 1 2 5 color black thickness 2 linestyle 2 display A scaling unconstrained tickmarks 5 5 有三个根 1 10闭区间上连续函数的性质24 我还想知道根的近似值 怎么办 见教材第三章第八节 p 176 1 10闭区间上连续函数的性质25 二分法BisectionMethod 教材178页 1 10闭区间上连续函数的性质26 选学内容 1 10闭区间上连续函数的性质27 有界性定理的证明 江泽坚 数学分析 上册 67页 Back 1 10闭区间上连续函数的性质28 最值定理的证明 Back 1 10闭区间上连续函数的性质29 零点定理的证明 二分法 江泽坚 数学分析 上册 68页 1 10闭区间上连续函数的性质30 1 10闭区间上连续函数的性质31 Back 1 10闭区间上连续函数的性质32 另一证明 菲赫金哥尔茨 微积分学教程 第一卷第一分册 162页 Back 1 10闭区间上连续函数的性质33 二分法的思路 1 10闭区