平面向量的应用.doc

第三节 平面向量的应用【知识点】：一、线段的定比分点1、设P分的比为，则，其中叫做P分的比，P为的定比分点；2、当时，P在的线段上；此时P为的内分点； 当时，P在的延长线上；此时P为的左外分点； 当时，P在的延长线上；此时P为的右外分点；二、定比分点的坐标公式 设,因为，所以：注意：根据这个公式可以在三个量中，知道两个求第三个；三、中点坐标公式和三角形重心坐标公式：1、中点坐标公式：若，且P为的中点：则 ； 2、三角形重心坐标公式：若的三个顶点坐标为：，为的重心：则；注意：重心分的中线为2：1的性质；四、平移和平移公式： 1、平移的概念； 2、点的平移公式：设是旧点，它按平移后的新点是，则它们的坐标有如下关系： ； 注：应用这个公式可以对新旧点和平移向量三个量中，解决知二求一的问题；五、图形的平移：1、知道新旧两个图象的表达式，可以通过新旧图象上的两个对应点的平移求解平移向量； 2、知道新旧两个图象的表达式，可以运用待定系数法求解平移向量；【相关例题】：1利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题【例1】 已知向量满足条件，求证：是正三角形解：令O为坐标原点，可设由，即两式平方和为，由此可知的最小正角为，即与的夹角为，同理可得与的夹角为，与的夹角为，这说明三点均匀分部在一个单位圆上，所以为等腰三角形.【例2】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、轴建立直角坐标系，设，则，从而可求：,=. .2利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题【例3】 已知，AD为中线，求证证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为轴建立如图2直角坐标系，设，则，.=，从而，.3利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量【例4】 已知点是且试用解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.由OA=2，所以，易求，设.【例5】 如图，用表示解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，.4利用向量的数量积解决两直线垂直问题【例6】 如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD.(1)求证：C1CBD.(2)当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明. (1)证明：设=a, =b,=c,依题意，|a|=|b|，、中两两所成夹角为，于是=ab，=c(ab)=cacb=|c|a|cos|c|b|cos=0,C1CBD.(2)解：若使A1C平面C1BD，只须证A1CBD，A1CDC1，由=(a+b+c)(ac)=|a|2+abbc|c|2=|a|2|c|2+|b|a|cos|b|c|cos=0,得当|a|=|c|时，A1CDC1，同理可证当|a|=|c|时，A1CBD，=1时，A1C平面C1BD.【例7】 如图，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.(1)求的长；(2)求cos的值；(3)求证：A1BC1M.解：(1)如图，以C为原点建立空间直角坐标系Oxyz.依题意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)|=.(2)解：依题意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).=(0，1，2)=10+(1)1+22=3|=(3)证明：依题意得：C1(0，0，2)，M()A1BC1M.5利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.【例8】 求平面内两点间的距离公式解：设点 ， ,而点与点之间的距离为：6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题.【例9】 证明:证明：在单位圆上任取两点，以为始边，以为终边的角分别为，则点坐标为点坐标为；则向量，它们的夹角为，,由向量夹角公式得：,从而得证.注：用同样的方法可证明7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.【例10】 证明柯西不等式证明：令（1） 当或时，结论显然成立；（2） 当且时，令为的夹角，则 . 又 （当且仅当时等号成立） .（当且仅当时等号成立）【例11】 求的最值解：原函数可变为，所以只须求的最值即可，构造，那么.故.【例12】 三角形ABC中，A(5，1)、B(1，7)、C(1，2)，求：(1)BC边上的中线AM的长；(2)CAB的平分线AD的长；(3)cosABC的值.解：(1)点M的坐标为xM=D点分的比为2.xD=(3)ABC是与的夹角，而=(6，8），=(2，5）.【平面向量的综合应用练习】一、选择题1、已知，若p在线段上，且，则点的坐标为 A.(0,3) B.(3,0) C.(-3,0) D.(0,-3)2、点p分有向线段的比是3：1，则点分有向线段的比为： A. B. C. D. 3、设点A(a,b),B(c,d)，若平移得A(2a,2b)，那么B点之新坐标为 A. (2c,2d) B. (a+c,b+d) C. (a+2c,b+2d) D. (2a+c,2b+d)4、若P按平移后得到点，则点P的坐标为 A.（0，0） B.（1，1） C.（3，-3） D.（-3，3）5、设A、B、C、D四点坐标依次是(1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD为( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形6、已知ABC中，=a，=b，ab0，SABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角是( )A.30B.150C.150D.30或150二、填空题1、分的比为，分的比为，则分的比为2、将二次函数y=x2的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y=2x5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_.3、等腰ABC和等腰RtABD有公共的底边AB，它们所在的平面成60角，若AB=16 cm,AC=17 cm,则CD=_.三、解答题1、若一次函数的图象与过的直线交于点P，求P分所成的比。2、 已知两点，求点分有向线段的比为及的值。3、已知函数按向量平移后得到函数，那么求函数按向量平移后得到的函数的解析式。4、如图，在ABC中，设=a， =b， =c, =a,(01), =b(01),试用向量a，b表示c.参考答案一、1.A 2.D 3.B 4.C5.解析： =(1，2）， =(1，2），=，又线段AB与线段DC无公共点，ABDC且|AB|=|DC|，ABCD是平行四边形，又|=， =(5，3），|=，|,ABCD不是菱形，更不是正方形；又=(4，1），14+21=60,不垂直于，ABCD也不是矩形，故选D.答案：D6.解析：35sin得sin=,则=30或=150.又ab0,=150.答案：C二、1.2.(2,0)