浙江省温岭市城南中学九年级数学 《圆》课件.ppt

圆 一 圆的定义 知识回顾1 2 从集合观点定义 在同一平面内 线段op绕它固定的一个端点o旋转一周 另一端点p运动所形成的图形叫做圆 定点o叫做圆心 线段op叫做圆的半径 1 描述性定义 圆可以看作是平面内到定点距离等于定长的点的集合 定点为圆心 定长为半径 圆的对称性 圆是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴 你是用什么方法解决上述问题的 圆是中心对称图形吗 如果是 它的对称中心是什么 你能找到多少条对称轴 你又是用什么方法解决这个问题的 圆的对称性 圆是轴对称图形 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线 它有无数条对称轴 可利用折叠的方法即可解决上述问题 圆也是中心对称图形 它的对称中心就是圆心 用旋转的方法即可解决这个问题 这是圆特有的一个性质 圆的旋转不变性 圆是中心对称图形 归纳 圆的对称性 中心对称性 旋转不变性 弧 弦 圆心角 弦心距这四组量之间的对应关系 轴对称性 垂径定理 旋转 折叠 1 圆有旋转不变性 即圆绕圆心旋转任何角度后 仍能与原来的圆重合 2 圆是轴对称图形 过圆心的任意一条直线都是它的对称轴 每条直径都是圆的对称轴 图形的对称轴是直线 而直径是线段 每条直径所在的直线都是圆的对称轴 圆心是对称中心 知识回顾2 圆的相关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 直径将圆分成两部分 每一部分都叫做半圆 如弧abc 连接圆上任意两点间的线段叫做弦 如弦ab 经过圆心弦叫做直径 如直径ac 等弧 在同圆或等圆中 能够互相重合的弧叫做等弧 e 弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距 5 圆心角定义 顶点在的角叫做圆心角 注意 因为圆心角的顶点在圆心 所以圆心角的两边一定和圆相交 定理 圆心角的度数和它所对的弧的度数 注意 1 的弧是指把圆心角360 分成360等份 那么1 的圆心角所对的弧叫做1 的弧 因此n 的圆心角就对着n 的弧 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 圆心 相等 推论 在同圆或等圆中 如果 两个圆心角 两条弧 两条弦 两条弦心距中 有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 如由条件 ab a b od o d aob a o b 一 圆心角 弦 弧 弦心距之间的关系 如果两个圆心角 两条弧 两条弦 两条弦的弦心距中有一组量相等 那么它们所对应的 在同圆或等圆中 其余各组量分别相等 能去掉 在同圆或等圆中 这个前提条件吗 如图 aob cod 但它们所对的弧和弦并不相等 特别提示 1 不能忽略 在同圆或等圆中 这个前提条件 否则虽然圆心角相等 但其所对的弧 弦 弦心距不一定相等 2 本定理十分重要 它提供了圆心角 弧 弦 弦心距之间的转化关系 是圆的相关性质的核心内容 7 圆周角定义 顶点在圆上 两边都与圆相交的角叫做圆周角 易错点 图34 3中的 abc都不是圆周角 定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的的一半 推论 半圆 或直径 所对的圆周角是 圆周角所对的弦是 注意 在圆中 同一条弦所对的圆周角有两个 一个是优弧所对的角 一个是劣弧所对的角 这两个角互补 相等 圆心角 直径 直角 90 am bm 垂径定理 ab是 o的一条弦 你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由 作直径cd 使cd ab 垂足为m 下图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 图中有 由 cd是直径 cd ab 做一做 垂径定理三种语言 定理垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 垂径定理是圆中一个重要的结论 三种语言要相互转化 形成整体 才能运用自如 cd ab 如图 cd是直径 am bm 垂径定理三角形 在a d r h中 已知其中任意两个量 可以求出其它两个量 d h r oa r oe d ab a de h 你可以写出相应的命题吗 相信自己是最棒的 垂径定理的推论 如图 在下列五个条件中 只要具备其中两个条件 就可推出其余三个结论 cd是直径 am bm cd ab 垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且平分弦和所对的另一条弧 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于弦 并且平分弦所对的另一条弧 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦 挑战自我垂径定理的推论 如果圆的两条弦互相平行 那么这两条弦所平的弧相等吗 这两条弦在圆中位置有两种情况 垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等 驶向胜利的彼岸 挑战自我填一填 1 判断 垂直于弦的直线平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧 经过弦的中点的直径一定垂直于弦 圆的两条弦所夹的弧相等 则这两条弦平行 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 例1 如图 已知 abc内接于 o d是 o上一点 连接bd ac bd交于点e 1 请找出图中的相似三角形 并加以证明 2 若 d 45 bc 2 求 o的面积 典型例题 例2 如图 ab为 o的直径 弦cd ab e为垂足 若ab 9 be 1 则cd 点拨 求弦长可先求弦的一半的长 典型例题一 有关弦 半径 圆心到弦的距离之间的计算 典型例题 变式 如图 ab为 o的直径 弦cd ab e为垂足 若cd 6 be 1 则ab 注意 连接oc后无法利用勾股定理直接求出半径 那该怎么办呢 设半径oc x 则oe x 1 利用勾股定理列出方程即可求解 分析 求直径 先求半径 连接oc 解 连接oc ob cd于点e ce de cd 3 设半径oc x 则oe x 1 在rt oec中根据勾股定理得oe2 ce2 oc2 x 1 2 32 x2解得x 5 ab 2oc 10 2 过圆心作弦的垂线段 弦心距 利用垂径定理可得该垂线也平分弦 从而半径 弦的一半和弦心距构成一个直角三角形 这是我们解决圆中求弦长 半径 弦心距 的常用方法 1 垂径定理的应用常与勾股定理相联系 例3 已知 如图 在以o为圆心的两个同心圆中 大圆的弦ab交小圆于c d两点 你认为ac和bd有什么关系 为什么 证明 过o作oe ab 垂足为e 则ae be ce de ae ce be de即ac bd 注意 解决有关弦的问题 过圆心作弦的垂线 或作垂直于弦的直径 也是一种常用辅助线的添法 典型例题 例4 如图 bc为 o的直径 ad bc于d a是bp的中点 连结pb交ad于点e 求证 ae eb 自己试一试 解法1 连接bc ab是直径 acb 90 即 abc acb 90 cd ab abd bad 90 acb bad 点a是bp的中点 ab ap abe acb abe bae 见直径 构造直径所对的圆周角 是常用的且重要的辅助线 方法小结 h h 解法2 延长ad交圆于h ab是直径 cd ab ab hb 点a是bp的中点 ab ap bh ap abe bae 1 有关圆的题目 圆周角与它所对的弧常相互转化 即欲证圆周角相等 可转化为证 圆周角所对的弧相等 的问题来解决 弧相等的条件可转化为它们所对的圆周角相等的结论 这是一种重要的解题思路 2 在已知条件下 若有与半径或直径垂直的线段 常延长此线段与圆相交 这样可利用 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的弧 的性质得线段相等 弧相等 船能过拱桥吗 2 如图 某地有一圆弧形拱桥 桥下水面宽为7 2米 拱顶高出水面2 4米 现有一艘宽3米 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里 此货船能顺利通过这座拱桥吗 相信自己能独立完成解答 船能过拱桥吗 解 如图 用表示桥拱 所在圆的圆心为o 半径为rm 经过圆心o作弦ab的垂线od d为垂足 与相交于点c 根据垂径定理 d是ab的中点 c是的中点 cd就是拱高 由题设得 在rt oad中 由勾股定理 得 解得r 3 9 m 在rt onh中 由勾股定理 得 此货船能顺利通过这座拱桥 在直径为400mm的圆柱形油槽内 装入一部分油 油面宽320mm 求油的深度 分析 本题是以垂径定理为考查点的几何应用题 没有给出图形 直径长是已知的 油面宽可理解为截面圆的弦长 也是已知的 但由于圆的对称性 弦的位置有两种不同的情况 如图 1 和 2 图 1 中oc 120 cd 80 mm 图 2 中oc 120 cd oc od 320 mm 小试牛刀 心动不如行动 二 基础练习 1 点p是半径为5的 o内的一点 且op等于3 则过点p的最短的弦长为 最长的弦长为 2 如图1 m是弧ab的中点 过点m的弦mn交ab于点c 设 o的半径为4 mn等于4 则圆心o到弦mn的距离为 acm等于 3 如图1 已知圆心角 boc 100 则圆周角 bac的度数为 a 100 b 130 c 50 d 80 4 如果 o的周长为10cm那么它的半径为 a 5cmb cmc 10cmd 5 图1 5 下列图中 线段 正方形 圆 等腰梯形 平行四边形是轴对称图形 但不是中心对称图形有 a 1个b 2个c 3个d 4个6 如图3 在 o中 ab ac是互相垂直且相等的两条弦 od ab oe ac 垂足分别为d e 若ac 2cm 则 o的半径为 cm 图2 7 如图4 ab是 o的直径 c d e都是 o上的点 则 1 2 8 如图5 ab为 o的直径 弦ac 4cm bc 3cm cd ab 垂足为d 那么cd的长为 cm 图4 图5 9 如图2 将半径为2的圆形纸片折叠后 圆弧恰好经过圆心o 则折痕ab的长为 10 已知如图3 c与坐标