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飞行器结构力学基础 电子教学教案 西北工业大学航空学院航空结构工程系 第三章静定结构的内力与变形计算InternalForcesandDeformationsofStaticallyDeterminateStructures 第三讲 静定结构的位移计算 一 结构位移计算概述 结构在外界因素 诸如载荷 温度改变 支座移动 制造误差等 作用下几何形状发生的变化 称为结构变形 1 结构的变形 结构变形可通过不同的结构位移形式来表征 并通过计算位移值来定量描述 2 结构位移的形式 线位移 角位移 相对线位移 相对角位移等统称为结构位移 线位移 参考点沿某一方向上的变形量 角位移 参考截面或元件的转动变形量 转角 扭转角等 相对线位移 两个参考点沿某一方向上的相对变形量 相对角位移 两个参考面或元件间的相对转动变形量 计算结构的位移是结构设计中的一项非常重要的内容 一方面为研究结构的刚度提供数据 另一方面为静不定结构的内力计算奠定基础 实质 分析结构几何关系的变化 3 计算结构位移的目的 二 回顾 外力功和变形能 2 1应变能和余应变能 对于图 a 的杆件为完全弹性体 其横截面积为A 长度为L 在载荷P作用下杆件的轴向力N由零逐渐增加到最终值P 杆件的变形也由零逐渐增加到 力与变形之间的关系按图 b 曲线变化 这时外力所作的功W等于 按照能量守恒原理 外载荷所作的功就以能量的形式贮存于杆件中 弹性体变形后具有的作功能力 称为变形能或应变能 用U表示应变能 二 回顾 外力功和变形能 2 1应变能和余应变能 对于完全弹性体 显然应变能就等于外力所作的功 即 图示杆件的应变能为 式中 称为应变能密度 单位体积的应变能 图 b 中曲线下面的那部分面积就代表了外力所作的功W或应变能U的大小 二 回顾 外力功和变形能 2 1应变能和余应变能 图 b 曲线上面的那部分面积所代表的功量记为W 或U 并称W 为外力余功 称U 为余应变能 对完全弹性体来说 图示杆件的外力余功W 和余应变能U 为 式中 称为余应变能密度 单位体积的余应变能 二 回顾 外力功和变形能 2 1应变能和余应变能 外力余功W 或余应变能U 并无任何物理意义 纯粹是为了使用上的方便而定义的一个数学量而已 但可以证明 余应变能同样服从工程结构中的能量守恒原理 因而 通过它所建立的一种能量方法同样可用于实际结构分析 在线弹性情况下 载荷 位移曲线退化为直线 应变能U与余应变能U 相等 从而应变能和余应变能可以互换 二 回顾 外力功和变形能 2 1应变能和余应变能 将应变能U和余应变能U 分别对 和P微分 可得到 分别表示应变能对位移的一阶导数等于外力 而余应变能对外力的一阶导数等于位移 可适用于线弹性或非线弹性情况 在线弹性情况下 著名的卡氏第二定理 只适用于线弹性情况 二 回顾 外力功和变形能 2 2线弹性结构元件的应变能和余应变能的表达式 三 广义力与广义位移 在结构力学中 经常用到各种不同类型的力和与这些力相对应的位移 如图所示的三种线弹性元件上 分别作用有集中力 弯矩 扭矩 对应于这些力的位移分别为线位移 弯曲转角和扭转角 外力所作的功分别为 拉伸 弯曲 扭转 三 广义力与广义位移 上述三种作用力及对应的三种变形均不相同 但它们有共同点 就是都能使物体发生变形 从而对物体作了功 所作之实功均等于系数 1 2 乘 力 乘 位移 若把这三种不同型式的 力 均称为广义力 与此广义力相对应的位移称为广义位移的话 则广义力所作的功可表达为 广义力 广义位移 广义力与广义位移的定义 一般而论 任何一个力或一组相互有关且又彼此独立的力系 如果可以用一个代数量来表示它 则称它为一个广义力 与此广义力相对应的位移称为广义位移 广义力与相应的广义位移乘积的一半等于该广义力所作的功 三 广义力与广义位移 如果杆件同时承受有集中力 弯矩 扭矩作用 则广义外力与广义位移分别为 于是 广义力所作的功等于 三 广义力与广义位移 一些典型结构元件的广义力和广义位移 四 弹性体的虚功原理 1 概述 弹性体在外力作用下处于平衡 存在两个力学状态 平衡的力状态 协调的位移状态 特别注意 这两个状态属同一个体系 是同一个力学问题的两种表现形式 相互关联 不可分割 平衡关系 协调关系 物理关系 力学问题的3个基本关系 研究弹性体力学问题的两种能量方法 当协调的位移状态发生微小变化时 结构系统的能量有什么变化 当平衡的力状态发生微小变化时 结构系统的能量有什么变化 虚位移原理 虚力原理 统称为 虚功原理 重要定义1 虚位移 一种假想的 满足位移约束条件的 任意的 微小的连续位移 假象的 是指虚位移仅仅是想象中发生但实际并不一定发生的一种可能位移 满足位移约束的 是指虚位移应当满足变形体的变形协调条件和位移边界条件 任意的 是指虚位移与变形体是否受力无关 微小的 是指虚位移并不影响变形体的几何关系 即不影响力的平衡关系 因此 在发生虚位移的过程中 外力与内力均保持不变 即保持原有的平衡状态 虚位移的例子 位移边界条件为 w为梁的真实挠度曲线 几种虚位移的形式 变形体的真实位移是否可作为虚位移呢 完全可以 重要定义2 虚功 实力在虚位移上所作的功 或广义力在与其无关的虚广义位移上所作的功 因为 在发生虚位移的过程中 外力和内力保持不变 因此 在虚功的表达式中无系数 1 2 为了与实功W区别 记虚功为 W 虚位移 则虚功为 虚功的例子 真实外力 虚位移 虚功为 重要定义3 虚力 一种假想的 满足平衡条件的任意力系 假象的 是指虚力仅仅是想象中一种可能力系 满足平衡条件的 是指虚力应当满足力的平衡方程 内部 和力的边界条件 外部 任意的 是指虚力与变形体的变形无关 因此 在发生虚力的过程中 变形体的位移均保持不变 即保持原有的协调状态 虚力的例子 真实受力和变形状态 虚力状态1 虽然力状态是平衡的 但力状态与实际变形无关系 不是真实的受力状态 而仅是满足平衡条件的力状态 虚力的例子 真实受力和变形状态 虚力状态2 虚力状态3 变形体的真实受力状态是否可作为虚力呢 完全可以 重要定义4 余虚功 虚力在真实位移上所作的功 或虚广义力在与其无关的广义位移上所作的功 因为 在发生虚力的过程中 位移保持不变 在余虚功的表达式中也无系数 1 2 为了与余功W 区别 记余虚功为 W 虚力 P 则余虚功为 余虚功的例子 余虚功为 真实位移 虚力 2 虚功原理 2 1质点的虚位移原理 一质点在诸力作用下处于平衡的充分必要条件是 所有力在质点虚位移上所作的虚功总和为零 必要条件 充分条件 平衡方程 虚功方程 2 虚功原理 2 2质点系的虚位移原理 一质点系在诸力作用下处于平衡的充分必要条件是 对于任意的虚位移 作用于质点系的主动力所做虚功之和为零 必要条件 充分条件 平衡方程 虚功方程 2 虚功原理 2 2刚体 或刚体系 的虚位移原理 一刚体 系 处于平衡的充分必要条件是 对于任何可能的虚位移 刚体虚位移 作用于刚体 系 的所有外力所做虚功之和为零 对于一刚体 系 去掉约束而代之以相应的反力 该反力便可看成外力 FP P FB B 0 假设一种刚体虚位移 则有 相当于 MA 0 2 虚功原理 2 4弹性系统的虚位移原理 平衡的力状态 协调的虚位移状态 弹性系统在外力作用下处于平衡状态 对任意的虚位移 系统中所有外力在虚位移上所作的虚功总和等于所有内力在虚位移上所作的虚功总和 外力虚功 内力虚功 符号标记 Si Vi分别表示在真实外力作用下 弹性体内部第i个元件的内力和位移 Si表示第i个元件的虚内力 Vi表示第i个元件的虚位移 2 虚功原理 协调的位移状态 平衡的虚力状态 弹性系统在外力作用下处于变形协调状态 对任意的虚力状态 系统中所有虚外力在位移上所作的余虚功总和等于所有虚内力在位移上所作的虚余功总和 2 4弹性系统的虚力原理 外力余虚功 内力余虚功 待分析平衡的力状态 3 弹性系统虚功原理的应用 关于虚位移原理 例1 建立图示桁架1点的平衡方程 解 1 设三根杆的内力分别为N1 N2 N3 在1点处与外载荷应满足平衡条件 N1 N2 N3 2 假设1处的水平位移为 u 垂直位移为 v 根据桁架的几何参数 可以得出各杆与结点1的位移相协调的变形 如表所示 协调的虚位移状态 例1 建立图示桁架1点的平衡方程 解 3 外力虚功 内力虚功分别为 N1 N2 N3 4 根据虚位移原理 有 由于虚位移 u v为任意值 有 1点的X向平衡方程 1点的Y向平衡方程 出导 3 弹性系统虚功原理的应用 待分析的平衡系统的力状态 虚设的协调位移状态 关于虚位移原理 实际受力状态的平衡方程 实质 用几何法解静力平衡问题 待分析协调的位移状态 关于虚力原理 例2 图示桁架在外力作用下处于变形协调状态 已知杆子12 13 14的伸长量分别为 L12 L13 L14 求1点的水平位移u和垂直位移v 解 1 内位移 L12 L13和 L14 与1点的水平位移u和垂直位移v应满足协调条件 2 假设1点处的水平力为 Px 垂直力为 Py 根据虚力的定义 可以求与虚外力平衡的一种内力状态 如图所示 满足平衡条件的虚力状态 0 例2 解 3 外力余虚功 内力余虚功分别为 4 根据虚位移原理 有 由于虚力 Px Py为任意值 有 1点的X向几何方程 1点的Y向几何方程 出导 3 弹性系统虚功原理的应用 待分析的协调系统的位移状态 虚设的平衡力状态 关于虚力原理 实际变形状态的几何 协调 方程 实质 用静力平衡法解几何问题 虚力原理对求解静不定结构内力具有重要的应用 五 单位载荷法 求位移的Mohr公式 1 单位载荷法的一般表达式 利用虚功原理 虚力原理 可以求出变形结构中任意一点由于变形而产生的位移 真实的位移状态 平衡的虚力状态 令 则有 虚功原理 五 单位载荷法 求位移的Mohr公式 1 单位载荷法的一般表达式 式中 即为所求m点处的结构位移值 表示外力作用下结构元件i的真实位移 表示单位广义力作用下的结构内力 这就是单位载荷法 Dummy UnitLoadMethod 它是Maxwell 1864 和Mohr 1874 提出的 故也称为Maxwell MohrMethod 上式可写成 五 单位载荷法 求位移的Mohr公式 1 单位载荷法的一般表达式 如何求 外力作用下第i个结构元件的广义力 第i个结构元件的刚度系数 桁架 刚架 等 五 单位载荷法 求位移的Mohr公式 1 单位载荷法的一般表达式 根据不同类型元件的广义力与广义位移 可得到不同类型结构的位移计算公式 平面或空间桁架 平面刚架 截面形状系数 如 1 对矩形截面k 6 5 2 对圆形截面k 10 9 轴力 弯矩 剪力 五 单位载荷法 求位移的Mohr公式 2 用单位载荷法求结构位移的一般步骤 求在外载荷作用下的结构真实内力 施加与所求位移相对应的单位广义力 并求在单位广义力作用下的结构内力 代入单位载荷法的一般表达式中 求广义位移 若 表示所求位移的方向与单位力方向相同 表示所求位移的方向与单位力方向相反 着重指出 单位力的位置 类型和方位必须与所求位移相对应 施加单位广义力的原则 单位广义力 位移 所求位移值 如何施加与所求位移对应的单位广义力 求5点的竖向位移 1 求1点和6点的水平相对位移 1 1 如何施加与所求位移对应的单位广义力 求1 5杆的转角 求1点和6点在1 6连线上的相对位移 1 1 如何施加与所求位移对应的单位广义力 求1 5杆 3 6杆的相对转角 如何施加与所求位移对应的单位广义力 求A点的竖向位移 1 求A截面的转角 1 如何施加与所求位移对应的单位广义力 求A B两点的竖向相对位移 1 求A B两截面的相对转角 1 1 1 例1 求桁架4点的竖向位移 4V 设各杆EA均相同 解 1 几何特性分析 该桁架为无多余约束的几何不变体 故为静定的 3 为求4点的竖向位移 在4点竖向方向上施加单位广义力 并求单位广义力作用下的结构内力 即求 4 由单位载荷法求 4V 2 求桁架在外载荷作用下的内力 即求 例1 求桁架4点的竖向位移 4V 设各杆EA均相同 4V 0 与单位力的方向一致 例2 求刚架A点的竖向位移 AV 设E J G A均相同 解 1 几何特性分析 该刚架为无多余约束的几何不变体 故为静定的 2 求刚架在外载荷作用下的内力 即求 例2 求刚架A点的竖向位移 AV 设E J G A均相同 3 为求A点的竖向位移 在A点竖向方向上施加单位广义力 并求单位广义力作用下的结构内力 即求 例2 求刚架A点的竖向位移 AV 设E J G A均相同 4 由单位载荷法求 AV 弯曲 轴向 剪切 对于细长杆件 相比弯矩来说 轴力和剪力对变形的影响很小 可略去轴力项和剪力项的影响 只计及弯矩项 例3 求半径为R的半园环A点的位移 A 设抗弯刚度为EJ 解 1 几何特性分析 该刚架为静定的 2 求刚架在外载荷作用下的内力 即求 外侧受压 例3 求半径为R的半园环A点的位移 A 设抗弯刚度为EJ 3 为求A点的位移 在A点竖向和水平方向上分别施加单位广义力 并求单位广义力作用下的结构内力 即求 内侧受压 外侧受压 例3 求半径为R的半园环A点的位移 A 设抗弯刚度为EJ 4 由单位载荷法 分别求 AV AH 由此计算得到A点的位移 A为 1 概述 六 图乘法及其应用 积分的计算 在用单位载荷法计算结构位移时 经常