不等式的证明.doc

不等式的证明1比较法作差作商后的式子变形，判断正负或与1比较大小作差比较法-要证明ab,只要证明a-b0。作商比较法-已知a,b都是正数，要证明ab,只要证明a/b1例1 求证：x2+33x证明：(x2+3)-3x=x2-3x+()2-()2+3=+0 x2+33x例2 已知a,bR+，并且ab，求证a5+b5a3b2+a2b3证明：(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2) a,bR+ a+b0, a2+ab+b20又因为ab,所以（a-b）20 (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)0即 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)0 a5+b5a3b2+a2b3例3 已知a,bR+，求证：aabbabba 证明： = a,bR+,当ab时，1,a-b0，1;当ab时,1,a-b0, 1. 1, 即aabbabba综合法了解算术平均数和几何平均数的概念，能用平均不等式证明其它一些不等式定理1 如果a,bR，那么a2+b22ab（当且仅当a=b时取“=”号）证明：a2+b2-2ab=(a-b)20当且仅当a=b时取等号。所以a2+b22ab(当且仅当a=b时取等号)。定理2 如果a,b,cR+，那么a3+b3+c33abc（当且仅当a=b=c时取“=”号）证明：a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)=(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20 a3+b3+c33abc,很明显，当且仅当a=b=c时取等号。例1 已知a,b,c是不全等的正数，求证 a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)6abc.放缩法这也是分析法的一种特殊情况，它的根据是不等式的传递性ab，bc，则ac，只要证明“大于或等于a的”bc就行了。例,证明当k是大于1的整数时，我们可以用放缩法的一支“逐步放大法”，证明如下：分析法从要证明的不等式出发，寻找使这个不等式成立的某一“充分的”条件，为此逐步往前追溯（执果索因），一直追溯到已知条件或一些真命题为止。例如要证a2b22ab我们通过分析知道，使a2b22ab成立的某一“充分的”条件是a22abb20，即(ab)20就行了。由于是真命题，所以a2b22ab成立。分析法的证明过程表现为一连串的“要证，只要证”，最后推至已知条件或真命题例 求证：证明:构造图形证明不等式例：已知a、b、c都是正数，求证：分析与证明：观察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2ab的形式，联想到余弦定理：c2=a2+b2-2abCosC,为了得到a2+b2ab的形式,只要C=120，这样：可以看成a、b为邻边，夹角为120的的三角形的第三边可以看成b、c为邻边，夹角为120的的三角形的第三边120120120abcCAB可以看成a、c为邻边，夹角为120的的三角形的第三边构造图形如下，AB=,BC=,AC=显然AB+BCAC，故原不等式成立。数形结合法数形结合是指通过数与形之间的对应转化来解决问题。数量关系如果借助于图形性质，可以使许多抽象概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求，这通常为以形助数；而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研究，又可获得简捷而一般化的解法，即所谓的以数解形。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性。通过数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。例证明,当x5时,x-2解:令y1=, y2=x-2, 从而原不等式的解集就是使函数y1y2的x的取值范围。在同一坐标系中分别作出两个函数的图象。设它们交点的横坐标是x0, 则=x0-20。解之，得x0=5或x0=1（舍）。根据图形,很显然成立.反证法先假定要证不等式的反面成立，然后推出与已知条件（或已知真命题）和矛盾的结论，从而断定反证假定错误，因而要证不等式成立。