向量旋转和三角函数大全.docx

向量的旋转基础的2-D绕原点旋转在2-D的迪卡尔坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出。比如上图所示是位置向量R逆时针旋转角度B前后的情况。在左图中，我们有关系：x0 = |R| * cosAy0 = |R| * sinA=cosA = x0 / |R|sinA = y0 / |R|在右图中，我们有关系：x1 = |R| * cos（A+B）y1 = |R| * sin（A+B）其中（x1， y1）就是（x0， y0）旋转角B后得到的点，也就是位置向量R最后指向的点。我们展开cos（A+B）和sin（A+B），得到x1 = |R| * （cosAcosB - sinAsinB）y1 = |R| * （sinAcosB + cosAsinB）现在把cosA = x0 / |R|sinA = y0 / |R|代入上面的式子，得到x1 = |R| * （x0 * cosB / |R| - y0 * sinB / |R|）y1 = |R| * （y0 * cosB / |R| + x0 * sinB / |R|）=x1 = x0 * cosB - y0 * sinBy1 = x0 * sinB + y0 * cosB这样我们就得到了2-D迪卡尔坐标下向量围绕圆点的逆时针旋转公式。顺时针旋转就把角度变为负：x1 = x0 * cos（-B） - y0 * sin（-B）y1 = x0 * sin（-B） + y0 * cos（-B）=x1 = x0 * cosB + y0 * sinBy1 = -x0 * sinB + y0 * cosB现在我要把这个旋转公式写成矩阵的形式，有一个概念我简单提一下，平面或空间里的每个线性变换（这里就是旋转变换）都对应一个矩阵，叫做变换矩阵。对一个点实施线性变换就是通过乘上该线性变换的矩阵完成的。好了，打住，不然就跑题了。所以2-D旋转变换矩阵就是：cosA sinA cosA -sinA-sinA cosA 或者 sinA cosA我们对点进行旋转变换可以通过矩阵完成，比如我要点（x， y）绕原点逆时针旋转： cosA sinAx, y x -sinA cosA = x*cosA-y*sinA x*sinA+y*cosA为了编程方便，我们把它写成两个方阵x, y cosA sinA x*cosA-y*sinA x*sinA+y*cosA0, 0 x -sinA cosA = 0 0 也可以写成cosA -sinA x 0 x*cosA-y*sinA 0sinA cosA x y 0 = x*sinA+y*cosA 0三、2-D的绕任一点旋转下面我们深入一些，思考另一种情况：求一个点围绕任一个非原点的中心点旋转。我们刚刚导出的公式是围绕原点旋转的公式，所以我们要想继续使用它，就要把想要围绕的那个非原点的中心点移动到原点上来。按照这个思路，我们先 将该中心点通过一个位移向量移动到原点，而围绕点要保持与中心点相对位置不变，也相应的按照这个位移向量位移，此时由于中心点已经移动到了圆点，就可以让 同样位移后的围绕点使用上面的公式来计算旋转后的位置了，计算完后，再让计算出的点按刚才的位移向量 逆 位移，就得到围绕点绕中心点旋转一定角度后的新位置了。看下面的图现在求左下方的蓝色点围绕红色点旋转一定角度后的新位置。由于红色点不在原点，所以可以通过红色向量把它移动到原点，此时蓝色的点也按照这个向量移动，可 见，红色和蓝色点的相对位置没有变。现在红色点在原点，蓝色点可以用上面旋转变换矩阵进行旋转，旋转后的点在通过红色向量的的逆向量回到它实际围绕下方红 色点旋转后的位置。在这个过程中，我们对围绕点进行了三次线性变换：位移变换-旋转变换-位移变换，我们把它写成矩阵形式：设红色向量为（rtx， rty）x y 1 1 0 0 cosA sinA 0 1 0 0 x y -0 1 0 x 0 1 0 x -sinA cosA 0 x 0 1 0 = - - -0 0 1 rtx rty 1 0 0 1 -rtx -rty 1 - - -最后得到的矩阵的x和y就是我们旋转后的点坐标。分类:ACM绿色通道：好文要顶关注我收藏该文与我联系woodfish关注 - 0粉丝 - 4+加关注20(请您对文章做出评价)上一篇：我自己写的一点sgu题解下一篇：转载世上没有B/S系统,只有B系统和S系统.posted on2007-09-10 14:01woodfish阅读(4280) 评论(2)编辑收藏评论#1楼x y 1 1 0 0 cosA sinA 0 1 0 0 x y -0 1 0 x 0 1 0 x -sinA cosA 0 x 0 1 0 = - - -0 0 1 rtx rty 1 0 0 1 -rtx -rty 1 - - -这个好像有问题，应该做不到需要的结果。感觉应该是：x y 1 1 0 0 cosA sinA 0 1 0 0 x y -0 1 0 x 0 1 0 x -sinA cosA 0 x 0 1 0 = - - -0 0 1 -rtx -rty 1 0 0 1 rtx rty 1 - - -三角函数大全 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是学习方法网为大家整理的三角函数公式大全：锐角三角函数公式sin =的对边 / 斜边cos =的邻边 / 斜边tan =的对边 / 的邻边cot =的邻边 / 的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA2）（注：SinA2 是sinA的平方 sin2（A） ）三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B降幂公式sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2)推导公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos21-cos2=2sin21+sin=(sin/2+cos/2)2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina(3/2)²-sin²a=4sina(sin²60-sin²a)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosacos²a-(3/2)²=4cosa(cos²a-cos²30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a)/2cos2(a/2)=(1+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)学习方法网三角和sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincostan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)两角和差cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin()=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)和差化积sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinsin = cos(-)-cos(+) /2coscos = cos(+)+cos(-)/2sincos = sin(+)+sin(-)/2cossin = sin(+)-sin(-)/2诱导公式sin(-) = -sincos(-) = costan (a)=-tansin(/2-) = coscos(/2-) = sinsin(/2+) = coscos(/2+) = -sinsin(-) = sincos(-) = -cossin(+) = -sincos(+) = -costanA= sinA/cosAtan（/2）cottan（/2）cottan（）tantan（）tan诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sin=2tan(/2）/1+tan(/2)cos=1-tan(/2)/1+tan(/2)tan=2tan(/2)/1-tan(/2)其它公式(1)(sin)2+(cos)2=1(2)1+(tan)2=(sec)2(3)1+(cot)2=(csc)2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)2,第二个除(cos)2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)