《2.4向量的数量积（一）》教学案.doc

2.4向量的数量积（一）教学案第1课时数量积的定义 (教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)掌握平面向量的数量积及其几何意义和应用(2)会用两个向量的数量积解决向量的垂直问题(3)理解两个向量的数量积的运算律2过程与方法经历平面向量数量积的形成过程，体会用数量积及其运算处理简单的物理问题、代数问题、几何问题的数学思想3情感、态度与价值观通过本节的学习，培养学生对事物的洞察能力和创新能力重点难点重点：平面向量数量积的含义及其几何意义难点：运用数量积解决长度、夹角平行、垂直的几何问题教学方案设计(教师用书独具)教学建议 1关于向量夹角的教学教学时，建议教师从向量的概念出发，结合非零向量的方向性，利用数形结合的思想，充分展示向量间的各种关系，最后给出向量夹角的概念，并就零向量的特殊情形作出补充2关于向量数量积的教学教学时，建议教师利用学生熟悉的物理知识做功，得到向量的数量积的含义并就其物理意义、几何意义作出明确解释让学生明确向量的数量积是数量而并非向量通过对本节知识的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系，在让学生以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积的同时，激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神3关于向量的数量积运算的教学教学时，建议教师从学生熟悉的数量积的定义出发，类比实数的运算由学生自主推导出数量积的三种运算律：交换律、分配律、结合律；然后提出问题“向量数量积的有关性质”，让学生自主发现并给出证明然后给出典例示范最后教师点评并强调在实数乘法中适用的运算律和运算方法，有些是不能照搬到向量的数量积运算中的整个教学过程培养学生的类比、归纳、探索能力，提高学生的数学素养教学流程引导学生类比实数的运算，探究向量的数量积满足的运算律、交换律、分配律、结合律并给出证明.课前自主导学课标解读1.了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念2.理解平面向量数量积的含义及其几何意义(重点)3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题(难点)向量的数量积【问题导思】如果一个物体在力F的作用下产生位移s，且F与s的夹角为，那么力F所做的功W等于什么？【提示】W|F|s|cos .(1)向量的数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos 叫做向量a和b的数量积(或内积)记作ab，即ab|a|b|cos .规定零向量与任一向量的数量积为0.(2)两个向量的夹角：对于两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，其范围是0180，当0时，a与b同向；当180时，a与b反向；当90时，称向量a与b垂直，记作ab.向量的数量积的运算律向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数.(1)abba；(2)(a)ba(b)(ab)ab；(3)(ab)cacbc.课堂互动探究向量数量积的运算例1已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120，求：(1)ab；(2)a2b2；(3)(2ab)(a3b)【思路探究】利用向量数量积的定义和性质计算【自主解答】(1)ab|a|b|cos 12023()3.(2)a2b2|a|2|b|2495.(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos 1203|b|28152734.规律方法1求平面向量数量积的步骤：求a与b的夹角，0，；分别求|a|和|b|；求数量积，即ab|a|b|cos ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省去2较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简互动探究本例中条件不变，如何求(2a3a)(3a2b)？【解】(2a3b)(3a2b)6a24ab9ab6b2622523()63245.求向量的模例2(1)若向量a，b满足|a|，|b|2，且(ab)a，则|ab|等于_(2)已知向量a，b满足|a|2，|b|3，|ab|4，求|ab|.【思路探究】(1)由(ab)a，求出a，b，再利用公式|a|求解(2)由|ab|4可求ab的值，再利用公式|a|求解【自主解答】(1)由于(ab)a，则(ab)a|a|2ab0，所以ab2.所以|ab|2|a|22ab|b|210，所以|ab|.【答案】(2)由已知，|ab|4，|ab|242，a22abb216，|a|2，|b|3，a2|a|24，b2|b|29，42ab916，即2ab3.又|ab|2a22abb243910，|ab|.规律方法求向量的模的常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化(3)一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等变式训练在ABC中，已知AB8，BC7，ABC150，求AC的长【解】由题意可知|8，|7，的夹角为150.而，|2()2|22|272278cos 1508249566411356.|.所以AC的长为.向量的夹角和垂直问题例3已知a，b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角【思路探究】解答本题可由已知两个条件中的垂直得到两个等式，从而得到a，b之间的关系，再由cos 可求得夹角【自主解答】由已知得(a3b)(7a5b)0，即7a216ab15b20(a4b)(7a2b)0，即7a230ab8b20，两式相减得2abb2，abb2，代入中任一式得a2b2，设a，b的夹角为，则cos ，0180，60.规律方法1求向量a，b夹角的流程图：2由于|a|，|b|及ab都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及ab的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量变式训练设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角 【解】m和n是两个单位向量，其夹角是60，mn|m|n|cos 60，设a2mn与b2n3m的夹角为，cos ，0180，a2mn与b2n3m的夹角为120.易错易误辨析对向量的夹角理解不正确致误典例已知ABC中，|5，|8，C60，求.【错解】如图，因为|5，|8，C60，所以|cos 6058cos 6020.【错因分析】错解中未正确理解向量夹角的含义，题干中两向量与的始点不相同，所以它们的夹角并非C.如图所示，其夹角应该是C的补角，即，120.【防范措施】结合图形求两个向量的数量积时，注意依据图形特点，分析两个向量的夹角是相应线段所成的角还是该角的补角【正解】因为|5，|8，180C120，所以|cos，58cos 12020.1两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆2向量数量积的性质及作用设a和b是非零向量，a与b的夹角为.(1)abab0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系(2)当a与b同向时，ab|a|b|，当a与b反向时，ab|a|b|，即当a与b共线时，|ab|a|b|，此性质可用来证明向量共线(3)aaa2|a|2或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化(4)cos ，此性质可求a与b的夹角或直线的夹角，也可利用夹角取值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围.当堂双基达标1下列式子：；(ab)2a2b2；aaaa3；(ab)ca(bc)其中错误的序号为_【解析】错，因为不存在这样的运算；错，因为(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2不一定与a2b2相等；错，因为a与c方向未必一致【答案】2(2013镇江高一检测)边长为 1的正方形ABCD中，_.【解析】四边形ABCD为正方形，与的夹角为45，且|1，|.|cos 4511.【答案】13向量ab的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|_.【解析】因为ab13()，所以|5ab|2(5ab)225a2b210ab49.因此|5ab|7.【答案】74已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|b|ab|，求a与ab的夹角【解】根据|a|b|，有|a|2|b|2，又|b|ab|，得|b|2|a|22ab|b|2，ab|a|2.而|ab|2|a|22ab|b|23|a|2，|ab|a|.设a与ab的夹角为，则cos ，0180，30.课后知能检测一、填空题1若|m|4，|n|6，m与n的夹角为135，则mn_.【解析】mn|m|n|cos 13546()12.【答案】122(2013安徽高考)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_【解析】由|a|a2b|，两边平方，得|a|2(a2b)2|a|24|b|24ab，所以ab|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，b.【答案】3设a与b的模分别为4和3，夹角为60，则|ab|_.【解析】|ab|.【答案】4设向量a，b，c满足abc0，且ab，|a|1，|b|2，则|c|2_.【解析】abc0，c(ab)又ab，ab0.|c|2c2(ab)2a22abb25.【答案】55(2013江西高考)设e1，e2为单位向量， 且e1，e2的夹角为，若ae13e3，b2e1，则向量a在b方向上的射影为_【解析】由于ae13e2，b2e1，所以|b|2，ab(e13e2)2e12e6e1e2265，所以a在b方向上的射影为|a|cosa，b.【答案】6在边长为1的正三角形ABC中，设2，3，则_.【解析】选，为基底，则，()().【答案】7已知非零向量a，b，若(a2b)(a2b)，则_.【解析】(a2b)(a2b)，(a2b)(a2b)0，a24b2，|a|2|b|，2.【答案】28已知a，b，c为单位向量，且满足3ab7c0，a与b的夹角为，则实数_.【解析】由3ab7c0，可得7c(3ab)，即49c29a22b26ab，而a，b，c为单位向量，则a2b2c21，则49926cos ，即23400，解得8或5.【答案】8或5二、解答题9(2013长春高一检测)已知向量a与b满足|a|4，|b|2，且|ab|2.(1)求|3a4b|；(2)(a2b)(ab)【解】|ab|2，(ab)2a22abb2422ab22(2)2，ab4.(1)|3a4b|29a224ab16b294224 (4)16221619，|3a4b|4.(2)(a2b)(ab)a2ab2b242(4)22212.10已知|a|5，|b|4，且a与b的夹角为60，则当k为何值时，向量kab与a2b垂直？【解】(kab)(a2b)，(kab)(a2b)0，ka2(2k1)ab2b20，k52(2k1)54cos 602420，k，即k时，向量kab与向量a2b垂直11已知|a|，|b|3，a和b的夹角为45，求当向量ab与ab的夹角为锐角时的取值范围【解】因为向量ab与ab的夹角为锐角，所以(ab)(ab)a2(1)abb21250.由此解得.若向量ab与ab同向，则存在惟一的正数k，使得abk(ab)成立，有k1.要保证向量ab与ab不同向，则必须1.综上所述，当且1时，向量ab与ab的夹角为锐