《3.4.2 基本不等式的应用》教学案.doc

3.4.2基本不等式的应用教学案教学教法分析(教师用书独具)三维目标1.知识与技能(1)能够运用基本不等式解决生活中的应用问题；(2)进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；(3)审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题2.过程与方法整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心来进行3情感、态度与价值观(1)引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德；(2)进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性重点、难点重点：对由基本不等式推导出的命题的理解以及利用此命题求某些函数的最值突破重点的关键是对基本不等式的理解难点：理解利用基本不等式求最值时的三个条件“一正，二定，三相等”. 教学方案设计(教师用书独具)教学建议 本节课是基本不等式应用举例，是上节基本不等式的证明的延伸整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心来进行，列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一要对学生强调，解实际问题时首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题对例题的处理可先由学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤提醒学生注意：(1)使用基本不等式的条件是一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小；(2)求最值常用的不等式：ab2，ab()2，a2b22ab.教学流程课前自主导学课标解读1.掌握基本不等式(a0，b0)(重点)2.能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题(指只用一次基本不等式即可解决的问题)(难点)知识1 基本不等式与最值已知a0，b0，在运用基本不等式时，要注意：(1)和ab一定时，积ab有最大值；(2)积ab一定时，和ab有最小值；(3)取等号的条件(当且仅当ab时，)知识2 基本不等式的常见变形【问题导思】若a0，b0，则ab、()2、的大小关系如何？【提示】由基本不等式，ab()2(两边平方)，由2aba2b2，()2，ab()2.1若aR，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时等号成立2若a0，b0则ab()2，当且仅当ab时等号成立3若a0，b0，则 ，当且仅当ab时等号成立.课堂互动探究 类型1 基本不等式的变形应用例1求y的最大值【思路探究】由()2()22(定值)，利用基本不等式的变形： ，可求【自主解答】由知定义域为x1，1又()2()21x1x2(定值)，y2，当且仅当1x1x即x0时，等号成立ymax2.规律方法1本例中，由于()2()22(定值)，因而不宜使用基本不等式，应该使用不等式的变式 .2对于基本不等式及其变式，在利用这些不等式求最值时，要保证一侧为定值，并保证等号成立，要根据已知条件和所求，灵活地选取公式变式训练长为50米的钢丝，截开后分别围成两个正方形，设两个正方形的边长分别为x m，y m，当x，y分别为多少时，面积和最小？最小值为多少？【解】由题意，xy，设面积和为S，则Sx2y22()22()2，当且仅当xy时等号成立当xym时，Sminm2.类型2 求字母参数的取值范围例2已知正数a、b满足abab3，求ab的取值范围【思路探究】思路一：将b代入消元；思路二：利用基本不等式得关于ab的不等式【自主解答】法一由abab3，得b.由b0，得0.a0，a1.aba(a1)5259.当且仅当a1，即a3时，取等号，此时b3.ab的取值范围是9，)法二由于a、b为正数，ab2.abab323，即()2230.3，故ab9，当且仅当ab3时，取等号ab的取值范围是9，)规律方法 1本题中，要求ab的取值范围，在使用已知条件等式的方法上灵活多样，但最终都归结为基本不等式的应用2利用基本不等式，求字母参数的取值范围，关键是怎样由等式通过放缩得出不等式互动探究若题中条件不变，如何求ab的取值范围【解】法一abab3，b(a1)，abaa(a1)22226，当ab3时等号成立ab的取值范围是6，)法二ab()2，ab3()2即(ab)30，解之得ab6或ab2(舍去)，ab的取值范围是6，).类型3 利用基本不等式解实际应用题例3某商场预计全年分批购入每台价值2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x台(xN*)，且每批均需运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值(不包括运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用，能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？【思路探究】首先建立总费用y与每批进货量x之间的函数关系，再由基本不等式求总费用y的最小值，与所给24 000元比较【自主解答】设每批购买x台电视机，共需运输和保管的总费用为y元由题意可得保管费为k2 000x(k0)元，总运输费为400元由题意得43 6004009k4002 000，所以k，所以y2 000x400100(x)100224 000.当且仅当x，即x120时，等号成立所以安排每批购买120台电视机，可以使资金够用规律方法1本题中的函数模型属于“yax”型一般地，yax(x0，a，b为常数且a0，b0)的最值(或值域)可分以下几种情况：(1)若x(0，)，则由基本不等式，可知当x时，y取得最小值2；若x(，0)，则由基本不等式，可知当x时，y取得最大值2；若x(，0)(0，)，则函数的值域为(，2)2，)；(2)若不在函数定义域内，则需要根据函数的单调性求最值及值域2在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案变式训练某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(xN*)的函数关系式；(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？【解】(1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元，总支出为200x(x1)16万元y4100x200x(x1)1616(2x223x50)(xN*)(2)年平均利润为16(232x)16232(x)又xN*，x210，当且仅当x5时等号成立，此时16(2320)48.运营5年可使年平均运营利润最大.易错易误辨析多次使用基本不等式时，等号不同时成立致误典例已知实数a，b，x，y满足a2b21，x2y23，则axby的最大值是多少？【错解】a2b21，x2y23，axby2.【错因分析】在解题的过程中，两次应用了基本不等式，若最大值要取到2，则必须满足两个不等式同时取到等号，即ax，by同时成立，由条件知显然不能同时成立，所以最大值取不到2.【防范措施】在同一个题目中，若需要多次使用基本不等式，则必须使等号成立的条件相同【正解】设asin ，bcos ，xsin ，ycos ，axbysin sin cos cos cos().当且仅当cos()1时取等号，此时axby的最大值为.1基础知识：(1)基本不等式与最值；(2)基本不等式的常见变形2基本技能：(1)基本不等式的变形应用；(2)求字母参数的取值范围；(3)利用基本不等式解实际应用题3思想方法：(1)函数思想；(2)转化与化归思想当堂双基达标1下列各式：lg(x21)lg 2x；x212x；1；x2.其中对任意实数x都成立的是_(填序号)【解析】x不能取0和负数；x1时不成立；x211，1，对任意实数x都成立；x不能取0.【答案】2已知x，y都是正数，且1，则xy的最小值等于_【解析】xy(xy)()332，当且仅当x2时，等号成立【答案】323若点(a，b)在直线x3y10上，则2a8b的最小值为_【解析】(a，b)在直线x3y10上，a3b1.2a8b2a23b222.【答案】24用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，则这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【解】设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(xy)36，xy18，矩形菜园的面积为xy m2.由9，可得xy81，当且仅当xy，即xy9时，等号成立因此，当这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2.课后知能检测一、填空题1若x、yR，x9y12，则xy有最大值为_【解析】9xy()236，xy4，当且仅当x9y6，即x6，y时等号成立【答案】42(2013无锡检测)设lg xlg y2，则的最小值是_【解析】由lg xlg y2，知x0，y0，xy100.22，等号可取所以的最小值为.【答案】3若正实数x，y满足xy1，且t2x，则当t取最大值时x的值为_【解析】t2x3(1x)3(1x)322.当且仅当1x，即x时等号成立【答案】4(2013德州高二检测)设点(m，n)在直线xy1位于第一象限内的图象上运动，则log2mlog2n的最大值为_【解析】由题意知mn1且m0，n0，则log2mlog2nlog2mnlog2()2log22.当且仅当mn时等号成立【答案】25某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨【解析】每年购买次数为次，所以总费用44x2160，当且仅当4x，即x20时等号成立故x20.【答案】206设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为_【解析】是3a与3b的等比中项，33a3b，ab1.a0，b0，2()4.【答案】47某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处【解析】设仓库离车站的距离为x千米，则y1，y2k2x.当x10时，由y12，y28，可得y1，y2x.则总费用yy1y2x8，当且仅当x，即x5时取等号【答案】58已知在ABC中，ACB90，BC3，AC4，P是AB上的点，则点P到AC，BC的距离的乘积的最大值是_【解析】设点P到AC，BC的距离分别为x，y，则由题意得，所以4x3y12，而4x3y2，所以xy3，当且仅当4x3y，且4x3y12，即x，y2时取“”【答案】3二、解答题9已知x0，y0，且xy1，(1)求的最小值；(2)求的最大值【解】(1)()(xy)1010218，当且仅当，即x，y时有最小值18.(2)2，当且仅当2x12y1，即xy时取最大值2.10.图341某单位用木料制作如图341所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：米)的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米(1)求x，y的关系式，并求x的取值范围；(2)问x，y分别为多少时用料最省？【解】(1)由题意得xyx8(x0，y0)，y0，0x4.(2)设框架用料长度为l，则l2x2yx()x484.当且仅当()x，即x84，满足0x4时，取得最小值，此时y2.11经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为：y(v0)(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解】(1)依题意，y，当且仅当v，即v40时，上式等号成立，所以ymax11.1(千辆/小时)(2)由条件得10，整理得v289v1 6000，即(v25)(v64)0，解得25v64.答：当v40千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时教师备课资源(教师用书独具)备选例题已知函数f(x)kxb(k0)的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，2i2j(i，j分别是与x轴、y轴正半轴同方向的单位向量)，函数g(x)x2x6.(1)求k，b的值；(2)当x满足f(x)g(x)时，求函数的最小值【思路探究】(1)写出点A，B的坐标，由向量相等求出k和b的值(2)对于已知的两个函数f(x)，g(x)，解不等式f(x)g(x)，把f(x)，g(x)代入，用基本不等式求最值【自主解答】(1)由已知得点A(，0)，点B(0，b)，则(，b)，(2)由f(x)g(x)，得x2x2x6，即(x2)(x4)0，解得2x4，x20.x253.当且仅当x21，即x1时等号成立，函数的最小值是3.规律方法1基本不等式主要用于求最值问题和证明不等式，所以要把基本不等式和函数结合起来，同时在解析几何、平面几何、数列等很多知识中都要用到基本不等式，所以要全面地掌握基本不等式的性质，理解并掌握其蕴涵着的思想方法2本题将向量、函数以及不等式有机结合在一起，题目新颖但求解并不困难，考查基础知识和基本方法，同时考查灵活应用知识的能力备选变式若一个直角三角形的周长为定值l(l0)，求该三角形面积的最大值【解】设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则abl.ab2，a2b22ab.lab22.当且仅当ab时等号成立，Sab()2l2.Smaxl2，此时三角形为等腰直角三角形拓展等与不等关系是中学数学中最基本的关系数学中的等与不等关系等的关系体现了数学的对称美和统一美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质如果把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式，不等式将发展为一个人丁兴旺的大家族，由简到繁，形式各异如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不