高中数学总复习课件：随机数与几何概型.ppt

1 如图 一只转盘均匀分成8部分 每一部分标有1 8个数 现转动转盘 则转盘停止转动时 指针指向偶数的概率是 D A B C D 根据标有偶数与奇数所占面积相等 由几何概型公式易得指针指向偶数的概率是 选D 2 在2升的水中有一个草履虫 现从中随机取出0 3升水样放到显微镜下观察 则发现草履虫的概率是 A B C D 由于取水样的随机性 所求事件 在取出0 3升的水样中有草履虫 的概率等于水样的体积与总体积之比 B 3 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达 乘客到达汽车站的时刻是任意的 则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率是 A B C D 因为离上一次公共汽车通过后的2分钟到5分钟的任一时刻乘客到站 候车都不超过3分钟 所以P A 故选C C 4 如图 边长为2的正方形内有一内切圆 在图形上随机撒一粒黄豆 则黄豆落到圆内的概率是 正方形的面积为4 圆的面积为 所以黄豆落到圆内的概率为 填 5 设P为圆周上一定点 在圆周上等可能地任取一点与P连接 则弦长超过半径的概率为 当弦长等于半径时 对应的圆心角为 设事件A为 弦长超过半径 则填 易错点 事件区域的确定 本题是与角度有关的几何概型 1 几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 几何概型有如下特点 1 试验中所有可能出现的结果 基本事件 有无限多个 2 每个基本事件出现的可能性相等 2 几何概型的概率公式 3 随机数随机数就是在一定的范围内随机产生的数 并且得到这个范围内的每一个数的机会一样 P A 构成事件A的区域长度 面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 重点突破 与长度有关的几何概型在长为10cm的线段AB上取一点G 并以AG为半径作一个圆 则圆的面积介于36 cm2到64 cm2的概率为 点G随机地落在线段AB上 故试验所有点所在的区域为线段AB 圆的面积介于36 cm2到64 cm2 即圆的半径介于6cm到8cm之间 与A相距6cm到8cm的区域即为构成圆的面积介于36 cm2到64 cm2的事件 因为事件满足几何概型 事件发生的总区域为线段AB 其长度为10cm 设 圆的面积介于36cm2到64cm2 为事件B 当点G与A相距6cm到8cm时 以AG为半径的圆 其面积介于36 cm2到64 cm2 故满足 圆的面积介于36 cm2到64 cm2 的点所在的区域的线段长度为2cm 所以 我们将每一个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点 该区域中每一点被取到的机会都一样 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点 这样的概率模型就可以用几何概型来求解 解答本类问题的关键是将基本事件的全部及其事件A包含的基本事件转化为相应线段的长度 进而求解 如图 A B两盏路灯之间长度是30米 由于光线较暗 想在其间再随意安装两盏路灯C D 问A与C B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少 记事件E为 A与C B与D之间的距离都不小于10米 把AB三等分 事件E构成的区域为中间这一部分 由于中间长度为30 10米 所以 重点突破 与面积 体积 有关的几何概型一只蚂蚁在边长分别为6 8 10的三角形区域内随机爬行 则其恰在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为 A B C D D 事件发生的区域为 ABC平面区域 恰在离三个顶点距离都大于2 的区域为图中阴影部分区域 属于几何概型中的面积比问题 由题意可知三角形为直角三角形 如图 阴影部分的面积为S 6 8 22 24 2 所以恰在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为选D 直接求阴影部分的面积比较困难 因此转化为求三部分扇形面积 体现 正难则反 的化归与转化思想 紧接着 求三部分扇形面积时 考虑扇形的半径均为2 且所对应的圆心角的和为 刚好可组成半圆 基于此 利用 补形 思想方法 这都是解题常用的策略 需要加强训练 在平面直角坐标系中有四个点 A 0 0 B 2 0 C 1 D 3 2 若向 ABD内随机投掷一质点 则它落在 ACB内的概率为 A B C D C 在平面直角坐标系作出点的坐标 可以发现 ACB区域在 ABD区域的内部 所以质点落在 ACB内的概率为 选C 重点突破 随机模拟右图的矩形 长为5 宽为2 在矩形内随机地撒300颗黄豆 数得落在阴影部分的黄豆数为138颗 则可以估计出阴影部分的面积约为 随机撒一把黄豆 每个黄豆落在矩形内任何一点是等可能的 落在每个区域的黄豆数与这个区域的面积近似成正比 即 从此入手 即可估计出阴影部分的面积 阴暗部分的面积 矩形的面积 落在阴暗部分的黄豆数 落在矩形的黄豆数 矩形面积为5 2 10 故阴影部分的面积约为本例启发我们 利用几何概型 并通过随机模拟方法可以近似估算不规则图形的面积 这就是数学的价值 y 0 x y 2 0 x y 2 0构成的区域为D 又知区域D内的每一个点都在区域M内 为了测算区域M的面积 向区域M内随机抛入10000个质点 经统计 落在区域D内的质点有2500个 则区域M的面积大约是16 的点 x y 设满足 y 0 x y 2 0 x y 2 0域为三角形 其面积为 4 2 4 故区域M的面积大约为填16 满足 的点 x y 构成的区 已知三个正数a b c满足a b c 若a b c是从中任取的三个数 求a b c能构成三角形三边长的概率 若a b c是从 0 1 中任取的三个数 求a b c能构成三角形三边长的概率 注意到a b c取值范围的不同 应认真探究概率模型 在第 问中 a b c是从有限个数值中选取 故为古典概型 在第 问中 a b c是从无限个数值中选取 故为几何概型 且可转化面积比的问题 若a b c能构成三角形 则a b c c 若c 时 b a 有1种 若c 时 b a 有2种 同理c 时 有3 1 4种 c 时 有4 2 6种 c 时 有5 3 1 9种 c 时 有6 4 2 12种 于是共有1 2 4 6 9 12 34种 从中任取的三个数a b c a b c 的方法数有84种 所以a b c能构成三角形的概率 a b c能构成三角形的充要条件是0c 0 c 1 在坐标系aOb内画出满足以上条件的区域 如图阴影部分 由几何概型的 计算方法可知 求阴影部分的面积与图中正方形的面积比即可 又S阴影 于是所要求的概率 本题涉及几何概型和古典概型 题目简捷明了 有助于认识几何概型和古典概型的区别与联系 其次 在解决几何概型问题时 应先根据题意确定是与长度 角度 面积还是体积有关的模型 然后求出事件A和基本事件的几何度量 借助几何概型的计算公式求解 1 几何概型与古典概型的异同点几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型 两者的共同点是基本事件是等可能的 不同点是基本事件数一个是有限的 一个是无限的 基本事件可以抽象为点 对于几何概型 这些点尽管是无限的 但它们所占据的区域是有限的 根据等可能性 这个点落在区域的概率与该区域的几何度量成正比 而与该区域的位置和形状无关 2 几何概型概率的适用条件使用几何概型的概率计算公式时 一定要注意其适用条件 每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 同时要注意判断基本事件的等可能性 这需要严谨思维 切忌想当然 需要从问题的实际背景中去判断 1 2009 福建卷 点A为周长等于3的圆周上的一个定点 若在该圆周上随机取一点B 则劣弧AB的长度小于1的概率为 圆周上使弧的长度为1的点M有两个 设为M1 M2 则过A的圆弧长度为2 B点落在优弧上就能使劣弧的长度小于1 所以劣弧的长度小于1的概率为 填 几何概型是高中新课程新增的内容 考查形式多样灵活 可以与现实生活和实际应用问题广泛结合 利用几何概型方法将概率问题转化为长度比 面积比 体积比问题是解决该类问题的常用手段 简单线性规划 解三角形及定积分是解决该类问题的主要工具 2 2009 辽宁卷 ABCD为长方形 AB 2 BC 1 O为AB的中点 在