立体几何3.doc

三、利用向量方法求空间角与距离1、空间位置关系的判定1）、直线的方向向量与平面的法向量：直线的方向向量、平面的法向量2）、用向量描述空间线面关系设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则由如下结论 平 行垂 直与与与3）、相关说明：上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，判断的依据是相关的判定定理与性质定理，要理解掌握。2、空间的角1）、用法向量求线面角：原理：设平面的斜线l与平面所的角为1，斜线l与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余。2）、用法向量求二面角：原理：一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补。方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角 方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，再解直角三角形来求角。方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。3、空间的距离1）、两点间的距离公式2）、向量法在求异面直线间的距离 设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的向量为 ，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模。3）、向量法求点到平面的距离 设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则P到平面的距离d等于在方向上正射影向量的模。4、利用向量的夹角公式及向量的射影易推下列结论：1）若两异面直线、的夹角为，则.2）若为平面的法向量，AB与平面所成角为，与所夹锐角为，则，从而.3）若、分别是二面角两个半平面的法向量，则、所夹角为所求二面角或其补角.4）若是异面直线与公垂线的方向向量，A、B分别是、上两点，则在上的射影就是异面直线与的距离. 即.5）若是平面的法向量，是平面的一条斜线，且，则在上的射影就是点A到平面的距离，即.6）若直线平面，是的法向量，则在上的射影就是直线到平面的距离，即.7）若A、B分别是两平行平面、上两点，为两平行平面的法向量，则在上的射影即为两平行平面的距离，即.5、例题选讲例1 （2004年广东省高考题）如图1，在长方体中，已知，E、F分别是线段AB、BC上的点，且.（）求二面角的正切值；（）求直线与FD1所成角的余弦值；（）求直线DC与平面所成角的正弦值.例2 已知正四棱柱，E为的中点.（）求异面直线与之间的距离；（）求点到平面BDE的距离；（）求直线到平面BDE的距离；（）求两平行平面与面的距离.例3如图，四棱锥中，底面，底面为梯形，.，点在棱上，且 （）求证：平面平面； （）求证：平面； （）求二面角的大小 6、练习如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。（）求证：AE/平面DCF；（）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小 7、近三年高考题（2009安徽理）（18）（本小题满分13分）如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角BAFD的大小；（II）求四棱锥EABCD与四棱锥FABCD公共部分的体积.（2010安徽理）18、（本小题满分12分） 如图，在多面体中，四边形是正方形，为的中点。 ()求证：平面；()求证：平面；()求二面角