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文档简介

7 曲率 一 弧微分 在曲线上取基点M0 x0 y0 设y f x 在 a b 内有连续导数 M x y 为曲线上任一点 M0 x0 M x 记弧长s 规定 依x增大的方向作为曲线的正向 即M在M0右 S 0 s随x的增大而增大 s s x 是x的 单调增加函数 a b y f x 设x有增量 x 相应有 s 在曲线上的对应点为M M 则 s M y f x s s x s x 为单增函数 s x 0 M M 弧微分公式 1 几何意义 P 弧微分ds表示了M点处切线段MP的长度 当切线正向与曲线方向一致 且与x轴夹角为 则有 当曲线方程为y f x 当曲线y f x 是用参数方程 当曲线用极坐标方程 y有连续导数 二 曲率及其计算公式 在工程技术中 有时需要研究曲线的弯曲程度 考察曲线的弯曲程度 曲线的弯曲程度与曲线端点处切线的转角 相等的情况下 1 不弯 2 弯曲 3 弯得厉害 成正比 1 与切线转角 成正比 M1 M2 M3 对同一条曲线 2 与曲线弧长 S成反比 曲线弯曲得越厉害 A B B S S A 越小 即为曲线在点M处的曲率 1 与切线转角 成正比 2 与曲线弧长 S成反比 k 考察直线的曲率 曲率为0的曲线是直线 1 考察半径为R的圆上各点处的曲率 例 A B R 圆上取两点A B 即圆上各点处的曲率都等于其半径的倒数 2 0 k 0 半径越大 弯曲越小 反之亦然 o 曲率的计算公式 1 设曲线方程y f x 二阶可导 由定义 曲线方程y f x 二阶可导 拐点处的曲率为0 1 2 曲线方程由参数方程 在实际问题中 给出 3 曲线方程由极坐标方程 三 曲率圆与曲率半径 设y f x 在点M x y 处的曲率为k 在M点处凹的一侧的法线上取一点D M D 以D为中心 为半径作圆 则此圆称为曲线在点M处的曲率圆 就称为曲率半径 曲率圆与曲线在M点处不仅有相同的切线与曲率 还有相同的凹向 在M点附近常用曲率圆弧近似代替曲线弧 例题讨论 例1 并问在哪点处曲率最大 其曲率半径是多少 解 则分母为最小时k最大 处曲率最大 例2 解 8 方程的近似解 一 二分法 二 切线法 自学 习3 7 A 课外作业 1 4 习3 7 B 1 3 Rolle定理
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