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文档简介

1 第二节 一 偏导数概念及其计算 二 高阶偏导数 偏导数 2 一 偏导数定义及其计算法 回顾 导数的定义 3 4 注意 5 同样可定义对y的偏导数 6 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如在处 7 8 例1 求 解法1 解法2 在点 1 2 处的偏导数 9 例2 设 证 求证 10 解 11 不存在 12 有关偏导数的几点说明 求分界点 不连续点处的偏导数要用定义求 解 13 偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导连续 多元函数中在某点偏导数存在连续 14 显然 因为 在上节已证f x y 在点 0 0 并不连续 但函数在该点处并不连续 偏导数存在连续 15 思考 不能 例如 16 是曲线 在点M0处的切线 对x轴的斜率 在点M0处的切线 斜率 是曲线 对y轴的 4 偏导数的几何意义 17 由一元函数导数的几何意义 z f x y L L tan 偏导数的几何意义 y y0 同理 Tx 固定y y0 18 M z f x y L x x0 固定x x0 Tx 偏导数的几何意义 19 M 由一元函数导数的几何意义 z f x y L tan x x0 Tx Ty 固定x x0 偏导数的几何意义 20 几何意义 21 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 二 高阶偏导数 设z f x y 在域D内存在偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数 则称它们是z f x y 的二阶偏导数 22 按求导顺序不同 有下列四个二阶偏导数 混合偏导 23 类似可以定义更高阶的偏导数 例如 z f x y 关于x的三阶偏导数为 z f x y 关于x的n 1阶偏导数 再关于y的一阶偏导数为 24 例7 求函数 解 注意 此处 但这一结论并不总成立 的二阶偏导数及 25 例如 二者不等 26 问题 混合偏导数都相等吗 具备怎样的条件才相等 27 则 定理 例如 对三元函数u f x y z 说明 本定理对n元函数的高阶混合导数也成立 初等函数在其定义区域内是连续的 故求初等函 数的高阶导数可以选择方便的求导顺序 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 而 当三阶混合偏导数 在点 x y z 连续时 有 28 例8 证明函数 满足拉普拉斯 证 利用对称性 有 方程 29 练习题 设 方程 确定u是x y的函数 连续 且 求 解 30 作业 P181 4 6 8 3 5 6 3 7 8 9 2 31 内容小结 1 偏导数的概念及有关结论 定义 记号 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法 先代后求 先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 与求导顺序无关时
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