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文档简介

2 3无穷小量与微分 1 无穷小量的概念 简单地说 以零为极限的变量称为无穷小量 那么称函数为当时的无穷小量 特别地 以零为极限的序列称为时的无穷小量 例如 无穷小量的比较 都是无穷小 引例 但 可见无穷小量趋于0的速度是多样的 定义 若 若 若 若 若 或 记作 则称是比低阶的无穷小量 则称与为同阶无穷小量 则称是关于的k阶无穷小量 则称是的等价无穷小量 例1 例2 因为 所以 故 时 是关于x的二阶无穷小量 且 例3 设 对同一自变量的变化过程为无穷小 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的k阶无穷小 无穷小的比较小结 无穷小量与无穷大量的关系 若 为无穷大量 为无穷小量 若 为无穷小量 且 则 则 自证 当时 为无穷大量 据此结论 关于无穷大量的问题都可转化为无穷小量来讨论 说明 2 微分的概念 我们考察量 这时 当时也是无穷小量 于是得到 可以写成 由此可见 当很小时 可以用近似地代替 以上是在在点可导的条件下进行讨论的 如果 不考虑可导这个条件 即 当在点可导时 函数值的改变量 何时在处的改变量可以写成 其中为常数 根据前面的讨论 当在点可导时 上式成 立 且 反过来 假定上式成立 上式两边同除以 并令 取极限 得 可见 函数在可导 且 定义 的微分 A为不依赖于 x的常数 则称函数 而称为 记作 即 函数 在点可微的充要条件是 即 在点 可微 微分是函数改变量的线性主要部分 微分概念的意义 关于的线性主部 因此 当很小时 因此 例6 例7 导数也叫作微商 微分之商 微分的求法 基本初等函数的微分公式
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