高等数学D第3章导数与微分.ppt

1 微分概念的产生是为了描述曲线的切线和运动质点速度 从本章开始进入微积分学的主体 微积分分为微分学与积分学两部分 了描述函数变化率的概念 更一般地说 是为 微积分的系统发展通常归功于两位伟大的科学先驱 牛顿和莱布尼兹 2 第三章导数与微分 3 1导数的概念 3 3导数公式导数运算法则 3 2函数的可导性与连续性 3 4导数的实际应用 3 5高阶导数 3 6微分的概念 3 7微分公式和法则 3 8微分的应用 3 问题1 直线运动的瞬时速度问题 一质点作直线运动 已知路程s与时间t的 试确定t0时刻的瞬时速度v t0 解 若运动是匀速的 瞬时速度就等于平均速度 关系 质点走过的路程 3 1导数的概念 差商 4 它越近似表 定义为 并称之为t0时的瞬时速度v t0 若运动是非匀速的 平均速度 就是这段 时间内运动快慢的平均值 越小 明t0时刻运动的快慢 因此 人们把t0时的速度 5 例 已知自由落体运动的运动公式是 在任意时刻 的瞬时速度是 6 问题2 割线的极限位置 对于一般曲线如何定义其切线呢 曲线的切线斜率问题 若已知平面曲线 如何作过 的切线呢 切线位置 曲线上点 法国 数学家费马1629年提出了如下的定义和求法 从而圆满地解决了这个问题 7 处切线的斜率 已知曲线的方程 确定点 MN为割线 当点N沿曲线趋于点M时 现在来解决以下问题 则MT为点M处的 如图 MN旋转而趋向极限位置MT 切线 8 割线MN的斜率为 切线MT的斜率为 差商的极限 9 曲线在点 的切线是 解 令 得到切线斜率 所求切线是 10 就其实际意义来说各不相同 关系上有如下的共性 但在数量 1 在问题提法上 都是已知一个函数 求y关于x在x0处的变化率 2 计算方法上 上述两例 分别属于运动学 几何学中的问题 均需要做以下极限运算 11 定义 二 导数的定义 存在 则称函数在点 如果函数在处的差商 的极限 可导 并称这个极限为函数 或 记为 处不可导或导数不存在 当极限 1 式不存在时 就说函数f x 在x0 12 写成多种形式 导数定义可以 或令 则 2 3 1 13 关于导数的说明 点导数是函数在点x0处的变化率 它反映了函数 随自变量的变化而变化的快慢程度 即函数的变化率 无论何种形式 其本质在于 1 函数增量与自变量增量之比 2 变化过程为自变量增量趋近于零 14 1 变速直线运动的物体在 的瞬时速度 是路程函数 在点 处的导数 即 2 曲线 在 的切线斜率k 是函数 处的导数 即 有了导数的概念 则 15 特别地 即 三 导数的几何意义 由切线问题 切线的斜率就是极限值 16 17 例求函数 在 处的导数 解 按照导数定义的另一种形式 18 例 用导数表示下列极限 解 练习 解 19 如果函数y f x 在开区间I内的每点处都可 导 就称函数f x 在开区间I内可导 四 导函数 定义3 2 记作 对于任一 都对应着f x 的一个确定的 导数值 这个函数称为f x 的 导函数 导函数简称为导数 从而确定了一个以x为自变量 以导数值为 因变量的新的函数 20 或 函数在某点的导数就是导函数在这点的函数值 根据导数的定义 21 例 解 五 求导举例 几个基本初等函数的导数 步骤 即 22 例 解 更一般地 如 即 23 例 解 即 同理可得 课下练习 24 例 解 即 25 例 解 即 26 3 1导数的概念小结 1 导数定义 2 27 2 导数意义 28 3 2函数的可导性与连续性 一定不可导 处连续 没有切线 却在 29 定理3 1 证明 即 从而 3 2函数的可导性与连续性 该定理的逆定理不一定成立 注 30 解 在x 0处的连续性是显然的 但在x 0处 由于 所以是不可导的 问 函数在此点处 是不是不存在切线 事实上 在此点处 函数存在铅直的切线 31 例 解 32 如 该定理的逆定理不一定成立 注 连续是可导的必要条件 不是可导的充分条件 33 7分段函数求导 函数导数的公式 是一个极限式 和右极限的概念 也有左极限 左极限 的左导数 称为函数在点 记作 右极限 的右导数 称为函数在点 记作 34 如果左 右导数不存在或存在但不相等 都称函数 在点 的导数不存在 直观上 曲线在这一点没有切线 导数就不存在 35 例求西瓜的价格函数 的导数 解 在 就是西瓜的单价 导数 在分段点 右导数 左导数 不存在 结论 的导数不存在 事实上函数在 不连续 因此一定不可导 注 在 函数在点 36 连续可导 3 2函数的可导性与连续性小结 连续是可导的必要条件 不是可导的充分条件 37 3 3导数公式导数运算法则 1 常数和基本初等函数的导数公式 第48页 38 39 2 函数的线性组合 积 商的求导法则 40 法则 2 的证明 其中 41 例 解 例 解 求的导数 42 例 解 43 例 解 课下练习 即 44 例 解 课下练习 即 45 练习 解 法一 法二 46 3 反函数的求导法则 且 事实上 在点 的切线与x轴和y轴的夹角 的和是 所以 47 例 解 同理可得 单调 可导 直接函数 反函数 48 3 3导数公式导数运算小结 1 常数和基本初等函数的导数公式 第48页 49 3 反函数的求导法则 复合函数的求导法则 2 函数的线性组合 积 商的求导法则 5 隐函数的求导法则 将方程两边同时对x求导 6 对数求导法 等式两边取对数 7 分段函数求导 左 右导数定义 50 链导法则 复合函数的求导法则 可导 且其导数为 或 因变量对自变量求导 等于因变量对中间 变量求导 乘以中间变量对自变量求导 51 复合函数求导法则的证明 当 时 因为 可导因而连续 所以有 52 推广 例 解 53 例 解 练习 54 例 解 例 解 55 例证明幂函数的导数公式 证明 56 对于方程 当x取某一个值时 如果总有满足方程的唯一的y值存在 就说 方程确定了一个隐函数 函数 称为显函数 5 隐函数的求导法则 回顾 隐函数的显化有时很困难 甚至不可能 但在实际的计算中 有时需要计算隐函数的导数 所以 必须找到一种不经过显化而求隐函数的导 数的方法 57 例 1 求由圆的方程 2 求 处曲线切线的斜率 1 确定的隐函数的导数 将方程两边同时对x求导 因为y是x的函数 是x的复合函数 所以 得 整理得到 解 58 处 对于圆的上半支曲线 切线斜率是 对圆的下半支曲线 切线斜率是 2 求 处曲线切线的斜率 59 求隐函数的导数时 只要记住x是自变量 将方程两边同时对x求导 就得到一个含有导数 从中解出即可 的方程 y是x的函数 于是y的函数便是x的复合函数 60 练习 解 将方程两边同时对x求导 因为y是x的函数 是x的复合函数 所以 左边对x求导得 方程右边对x求导得0 所以 即 61 作为隐函数求导法的一个简单应用 介绍 对数求导法 它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单 对数求导法 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导法 求出导数 6 对数求导法 62 解 例 当0 x 1时 等式两边取对数得 隐函数 63 例 解 等式两边取对数得 64 两边对x求导得 等式两边取对数得 65 复合函数 改写成 例 则 幂指函数也可以利用对数性质化为 再求导 66 7 分段函数求导 函数导数的公式 是一个极限式 和右极限的概念 也有左极限 左极限 的左导数 称为函数在点 记作 右极限 的右导数 称为函数在点 记作 67 如果左 右导数不存在或存在但不相等 都称函数 在点 的导数不存在 直观上 曲线在这一点没有切线 导数就不存在 68 例求西瓜的价格函数 的导数 解 在 就是西瓜的单价 导数 在分段点 右导数 左导数 不存在 结论 的导数不存在 事实上函数在 不连续 因此一定不可导 注 在 函数在点 69 3 4导数的实际应用 1 变化率 表示自变量在以 函数 的平均变化量 平均变化率 在 反映了函数 的变化率 慢程度 差商 每变动一个单位时 因此差商就是 称为函数 的变化而变化的快 70 速度 的变化率 意义是 例如 加速度 意义是 1 2 在热力学中 热容量 3 的变化率 意义是 71 在生物学中 动物体重的增长速率是体重 对时间 的变化率 在环境评价学中 垂直递减率 4 5 变化的气温 72 例25 吨矿石需要的费用是 元 它的实用含义是什么 解 的单位是元 吨 元 吨 可以表示矿石在开采1000吨后 所需的费用大约为100元 设开采 再开采1吨 73 表格给出的函数如何估计变化率 某种植物每10天测量的植株的高度 通过表格给出 利用差商来估计函数在每点的变化率 设函数是 则在时间 差商是 的值就代表各点的变化率值 其中 用这个式子计算 74 例如第20天的变化率 cm 天 它表示在第20天时 植株每天大约增长0 57cm 75 3 4导数的实际应用小结 导数称为变化率 表示函数对自变量x的变化率 76 问题 变速直线运动的加速度 定义 这就是二阶导数的物理意义 3 5高阶导数 二阶导数 记作 77 三阶导数的导数称为 二阶和二阶以上的导数统称为 二阶导数的导数称为 高阶导数 三阶导数 四阶导数 n阶导数 记作 一般地 78 例 解 由高阶导数的定义 欲求函数的高阶导数 只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去 而不需要新的方法 79 例 解 几个基本初等函数的n阶导数 则 80 例 解 分析 此函数是6次多项式 故不需将函数因式全乘出来 因为 其中 为x的5次多项式 故 又是求6阶导数 81 例 解 同理可得 即 82 例 解 例 解 83 几个常用高阶导数公式 84 例 解 85 求n阶导数需要运用技巧 使问题简化 尽可能化为求某些熟知函数的n阶导数公式 通过四则运算 变量代换 恒等变形 86 例 解 若直接求导 将是很复杂的 且不易找出规律 所以将式子恒等变形 87 3 5高阶导数小结 二阶导数 88 相关变化率 P6618题细胞体积增长球形细胞以常速每天增加体积400 当它的半径是10时 它的半径增长速度是多少 分析 两边分别对t求导 89 导数 微分 导数与微分 表示函数在一点处由自变量所引起 的函数变化的快慢程度 是函数在一点处由于自变量微小变化 所引起的改变量的近似值 有着密切的联系 3 6微分的概念 90 正方形金属薄片受热后面积的改变量 1 问题的引出 实例 的线性 一次 函数 很小时可忽略 的高阶无穷小 91 再如 92 定义 2 微分的定义 如果增量 则称函数 可微 记作 微分 并称 为函数 93 称为函数 的微分 记作 2 由于 94 设 3 解 称为自变量的微分 95 从而 定理 证明 96 例32 设 求函数的增量与微分 解 代入 得到 例33 求函数的增量与微分 解 97 例30 药物反应 将敏感度定义为反映程度对剂量的变化率 解 假设注射某种药物的反应程度 表示剂量每增加一个单位 反映程度的增加值近似为227500单位 98 例30 药物反应 将敏感度定义为反映程度对剂量的变化率 解 假设注射某种药物的反应程度 表示剂量每增加一个单位 反映程度的增加值近似为227500单位 99 敏感度的变化率在 的值表示 剂量每增加一个单位 100 几何意义 如图 3 微分的几何意义 增量 增量 是曲线的纵坐标 是切线对应的纵坐标 101 求法 1 基本微分公式P58 3 7微分公式与运算法则 计算函数的导数 乘以自变量的微分 102 103 2 导数运算法则和对应的微分运算法则 104 例 解 例 解 105 求函数 的微分 按微分运算法则 有 例 解 106 结论 微分形式的不变性 3 复合函数求微分的法则 无论x是自变量还是中间变量 函数 的微分形式总是 107 例 解 法一 用复合函数求导公式 法二 用微分形式不变性 108 例 例 解 109 例 解 在括号中填入适当的函数 使等式成立 110 例 解 两边求微分 111 例 解 两边取对数 两边求微分 112 微分的应用 1 2 3 113 例 解 3 8微分的应用 1 计算函数增量的近似值 114 2 计算函数的近似值 曲线 的切线的表达式 通常称为函数 的一次近似或线性近似 115 例 解 116 117 常用的几个一次近似式 118 证 例 解 由公式 119 例