高等数学上册习题讲解.ppt

高等数学上复习 题目类型 选择 填空 计算 证明 综合考试注意事项 签名 时间控制 先易后难 答题规范 考试形式 闭卷考试时间 2小时 一 极限计算 主要方法 两个重要极限 无穷小替换 罗必塔法则 其他方法 有理化 定积分定义等 特别注意各种方法的结合 如无穷小 罗必塔 罗必塔 积分上限函数等 或 注意与 区别 例1 例2 求 解 令 则 因此 原式 例3 注意 凑 的技巧 想法凑成公式需要的形式 例4计算 解 例5 求下列极限 提示 令 机动目录上页下页返回结束 常用等价无穷小 例1 求 解 原式 例2 求 解 例计算 解 分子或分母有理化 存在 或为 罗必塔法则 例1 求 解 原式 注意 不是未定式不能用洛必达法则 解 原式 例2 求 例3 求 解 例4 求 解 注意到 原式 分析 例5 原式 例6 求 解 原式 说明目录上页下页返回结束 例7 确定常数a b c的值 使 解 原式 c 0 故 又由 得 1 2 二 连续性 分段函数情形 例1 在x 0处连续 则A 解 计算函数值f 0 A 计极限值 所以A 3 例1 设函数 在x 0连续 则a b 提示 例2 a 0 b 2 解 计算函数值 计极限值 此时 要考察左右极限 右极限 左极限 由连续的定义 可得a 0 b 2 三 导数与微分 计算 应用 证明导数定义 分段点可导性讨论 计算 复合函数求导 隐函数求导 参数方程确定函数求导导数几何意义 切线法线计算 单调区间 凹凸区间 求最大最小值证明 解 因为 例1 设 存在 且 求 所以 设 解 又 例2 处的连续性及可导性 例3 解 两边对x求导得 算出 斜率 所以切线方程为 例4 求 的导数 解 两边取对数 化为隐式 两边对x求导 解 注意y y x 解得 上式两边在对x求导 得 注意 例6 解 例7 设由方程 确定函数 求 解 方程组两边对t求导 得 故 例8 设 其中 可微 解 例9求曲线的拐点及凹凸区间 解 令 得 凹凸区间为 例10 求抛物线 在 0 1 内的一条切线 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小 解 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与x y轴的交点分别为 所指面积 且为最小点 故所求切线为 得 0 1 上的唯一驻点 例11 设非负函数 曲线 与直线 及坐标轴所围图形 1 求函数 2 a为何值时 所围图形绕x轴一周所得旋转体 解 1 由方程得 面积为2 体积最小 即 故得 又 2 旋转体体积 又 为唯一极小点 因此 时V取最小值 四 不定积分与定积分 计算 直接积分法 第一换元法 第二换元法 三角代换 倒代换 最小公倍代换 分部积分法积分上限函数求导 复合函数情形 应用 面积 不同坐标系 旋转体体积 弧长对称性应用 奇函数 偶函数无穷限广义积分 例1 求 解 原式 例2 求 解 例3 解 例4 解 例5 求 解 令 则 想到公式 例6 求 解 类似 例7 求 解 原式 例8 求 解 令 则 原式 例9 求 解 令 则 原式 例10 求 解 令 则 原式 令 于是 例11 求 解 令 则 原式 例12 求 解 令 得 原式 思考与练习 1 下列积分应如何换元才使积分简便 令 令 令 例13 例14求积分 解 注意循环形式 例15求积分 第二换元法 分部积分法 解 例16 求 解 例17计算广义积分 解 解 五 微分方程 一阶 变量可分 线性非齐次 常数变易法 二阶 常系数非齐次通解 思考与练习 求下列方程的通解 提示 1 分离变量 2 方程变形为 例1 解方程 解 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解 令 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 这 里 解 由通解公式得 非齐次线性方程y P x y Q x 的通解为 即 例2 的通解 解 本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 解 例3求微分方程y y xcos2x的一个特解 因为f x e x Pl x cos x Pn x sin x xcos2x i 2i不是特征方程的根 所以所给方程的特解应设为 齐次方程y y 0的特征方程为r2 1 0 把它代入所给方程 得 y ax b cos2x cx d sin2x 3ax 3b 4c cos2x 3cx 4a 3d sin2x xcos2x 六 不等式证明 单调性证明 一阶导数不好判断正负情形 继续求导利用定积分证明不等式中值定理应用 例1 证明 时 成立不等式 证 令 从而 因此 且 证 证明 令 则 从而 即 例2 设 在 内可导 且 证明至少存在一点 使 上连续 在 证 问题转化为