三年级奥数-等差数列.doc

小学三年级奥数专项练题等差数列(一)【课前】()请观察下面的数列，找规律填数字。5，9，13，17，21，_；7，11，15，19，_，27，_，35；200，180，160，140，_；102，92，82，72，_，52。【知识要点屋】 1定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。2特点：相邻两项差值相等；要么递增，要么递减。3名词：公差，首项，末项，项数 5，9，13，17，21，25 () 一个等差数列共有15项，每一项都比它的前一项大3，它的首项是4，那么末项是_；一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小5，它的第1项是121，那么它的末项是_。 () 一个等差数列的首项是12，第20项等于392，那么这个等差数列的公差_；第19项_，212是这个数列的第_项。 【铺垫】() 计算下面的数列和： 37111519232731_。 () 计算下列各题1234232425_。1、在10和40之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。那么应插入哪些数？2、一个等差数列的首项是6，第8项是55，公差是（ ）。1、在10和40之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。那么应插入哪些数？解答：d=（40-10）(4+1)=6，插入的数是：16、22、28、34。2、一个等差数列的首项是6，第8项是55，公差是（ ）。解答：d=（55-6）（8-1）=7（1）2、4、6、8、28、30这个等差数列有( )项。（2）2、8、14、20、62这个数列共有（ ）项。（1）2、4、6、8、28、30这个等差数列有( )项。解答：（30-2）2+1=15（2）2、8、14、20、62这个数列共有（ ）项。解答：（62-2）6+1=11（1）11、14、17、20、95、98这个等差数列的项数是（ ）。（2）今天是周日，再过78天是周几？（1）11、14、17、20、95、98这个等差数列的项数是（ ）。解答：（98-11）31=30（2）今天是周日，再过78天是周几？解答：（781）7=112，所以是周一。在小学数学竞赛中，常出现一类有规律的数列求和问题。在三年级我们已经介绍过高斯的故事，他之所以 算得快，算得准确，就在于他善于观察，发现了等差数列求和的规律。 1+2+3+?+98+99+100 =（1+100）+（2+99）+?+（50+51） =10150，即（100+1）（1002）=10150=5050 按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；最后一个数叫末项。如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。后项与前项的差就叫做这个数列的公差。如： 1，2，3，4，?是等差数列,公差是 1; 1，3，5，7，?是等差数列，公差是 2； 5，10，15，20，?是等差数列，公差是 5. 由高斯的巧算可知，在等差数列中，由如下规律：项数=（末项-首项）公差+1；第几项=首项+（项数-1）公差；总和=（首项+末项）项数2. 本讲用各种实例展示了等差数列的广泛应用价值。我们要求同学们注意灵活应用这三个公式。 【例题精讲】 例 1 计算下面各题： （1）2+5+8+?+23+26+29； （2） （2+4+6+?+100）-（1+3+5+?+99） 。 解 （1）这是一个公差为 3，首项为 2，末项为 29，项数为（29-2）3+1=10 的等差数列求和。 原式=（2+29）102=31102=155 （2） 解法一：原式=（2+100）502-（1+99）502=2550-2500=50； 解法二：原式=（2-1）+（4-3）+（6-5）+?+（100-99）=150=50. 说明 两种解法相比较， 解法一直套着公式，平平淡淡； 解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点， 运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+?+1” ，从而解得更巧、更好。 例 2 计算：12003+22003+32003+?+20012003+20022003+20032003. 分析：如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难。由于除数都相同，被除数组成一个等差数 列：1，2，3，4，?，2001，2002，2003.所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数的和，再求商。 解 原式=（1+2+3+?+2002+2003）2003=（1+2003）200322003=1002. 说明 此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化。计算中又应用乘除混合运算的简化运算，使整 个解答显得简捷明快。 例 3 某小学举办“迎春杯”数学竞赛，规定前十五名可以获奖。比赛结果第一名 1 人，第二名并列 2 人， 第三名并列 3 人?第十五名并列 15 人。用最简便方法计算出得奖的一共又多少人？ 分析：通过审题可知，各个名次的获奖人数正好组成一个等差数列：1，2，3，?，15.因此，根据求和公 式可以求出获奖总人数。 解： （1+15）152=16152=120（人）例 4 某体育馆西侧看台上有 30 排座位，后面一排都比前面一排多 2 个座位，最后一排有 132 个座位。体 育馆西侧看台共有多少个座位？ 分析： 要求这 30 个数的和， 必须知道第一排的座位数， 而最后一排的座位数是由第一排座位数加上 （30-1） 2 得出来的，这样就可以求出第一排的座位数。 解：第一排的座位数为：132-2（30-1）=132-58=74（个） 所以 （74+132）302=206302=3090（个） 例 5 学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有选手赛 1 场。 （1） （2） 若有 20 人比赛，那么一共要进行多少场选拔赛？ 若一共进行了 78 场比赛，有多少人参加了选拔赛？分析 设 20 个选手分别是 A1,A2,A2,?,A20,我们从选手 A1，开始按顺序分析比赛场次： A1 必须和 A2，A3，A4，?，A20 这 19 人各赛一场，共计 19 场； A2 已和 A1 赛过，他只需和 A3，A4，A5，?，A20 这 18 名选手各赛一场，共计 18 场； A3 已和 A1，A2 赛过，他只需与 A4，A5，A6，?，A20 这 17 名选手各赛一场，共计 17 场； 依次类推，最后，A19 只能和 A20 赛一场。 然后对各参赛选手的场次求和即可。 解 （1）这 20 名选手一共需赛 19+18+17+?+2+1=（19+1）192=190（场） 。 （2） 设参赛选手有 n 人，则比赛场次是 1+2+3+?+（n-1） ，根据题意，有 1+2+3+?+（n-1）=78, 经过试验可知，1+2+3+?+12=78， 于是 n-1=12，n=13，所以，一共有 13 人参赛。 说明， （1）也可这样想，20 人每人都要赛 19 场，但“甲与乙”“乙与甲”只能算一场，因此，共进行 20 、 192=190（场）比赛。 （2）采用了试验法，这是一种很实用的方法，希望同学们能熟练掌握。作业：1,等差数列求和公式（首项，末项，公差已经知道） 和= 2、 等差数列求末项公式（首项，公差，相数已经知道） 末项= 3、 等差数列项数公式： （首相，公差，末项已知） 项数= 4、 求和： 100+102+104+106+108+110+112+114995+996+997+998+9991+3+5+7+37+39（1+3+5+1999）-(2+4+6+8+1998)5、 应用题 a. 自 1 开始，每隔两个数写出一个数来，得到的数列为