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文档简介

第七节 一 方向导数 二 梯度 三 物理意义 方向导数与梯度 一 方向导数 定义 若函数 则称 为函数在点P处沿方向l的方向导数 在点 处 沿方向l 方向角为 存在下列极限 记作 定理 则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在 且有 对于二元函数 为 的方向导数为 特别 当l与x轴同向 当l与x轴反向 向角 例2 求函数 在点P 2 3 沿曲线 朝x增大方向的方向导数 例3 设 是曲面 在点P 1 1 1 处 指向外侧的法向量 方向 的方向导数 在点P处沿 求函数 例1 求函数 在点P 1 1 1 沿向量 的方向导数 二 梯度 方向导数公式 令 这说明 方向 f变化率最大的方向 模 f的最大变化率之值 1 定义 即 同样可定义二元函数 称为函数f P 在点P处的梯度 记作 gradient 在点 处的梯度 向量 2 梯度的几何意义 说明 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 称为函数f的等值线 则L 上点P处的法向量为 例5 试证 例4 设函数 1 求函数在点M 1 1 1 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数 2 求函数在M 1 1 1 处的梯度与 1 中切线方向 的夹角 三 物理意义 函数 数量场 数性函数 场 向量场 矢性函数 可微函数 梯度场 势 如 温度场 密度场等 如 力场 速度场等 向量场 势场 注意 任意一个向量场不一定是梯度场 内容小结 1 方向导数 三元函数 在点 沿方向l 方向角 的方向导数为 二元函数 在点 的方向导数为 沿方向l 方向角为 2 梯度 三元函数 在点 处的梯度为 二元函数 在点 处的梯度为 3
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