高等数学(下)课件D12习题.ppt

级数的收敛 求和与展开 三 幂级数和函数的求法 四 函数的幂级数 一 数项级数的审敛法 二 求幂级数收敛域的方法 第十二章 在收敛域内进行 基本问题 判别敛散 求收敛域 求和函数 级数展开 时为数项级数 时为幂级数 一 数项级数的审敛法 1 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2 正项级数审敛法 必要条件 发散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收敛 发散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 3 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法 若 且 则交错级数 收敛 概念 且余项 设 un和 vn都是正项级数 且un kvn k 0 n N 若级数 vn收敛 则级数 un收敛 若级数 un发散 则级数 vn发散 p 级数的收敛性 证 比较审敛法 例1 定理3 比较审敛法的极限形式 解 例2 解 定理 比较审敛法的极限形式 例3 收敛 当 1 或 时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散 定理 比值审敛法 达朗贝尔判别法 解 所以 根据比值审敛法可知所给级数收敛 所以 根据比值审敛法可知所给级数发散 下页 解 收敛 当 1 或 时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散 定理 比值审敛法 达朗贝尔判别法 例5 提示 所以 根据比值审敛法可知所给级数收敛 下页 解 收敛 当 1 或 时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散 定理 比值审敛法 达朗贝尔判别法 例6 定理 极限审敛法 因为 解 根据极限审敛法 知所给级数收敛 下页 例7 定理 极限审敛法 因为 解 根据极限审敛法 知所给级数收敛 首页 例8 这是一个交错级数 解 由莱布尼茨定理 级数是收敛的 且其和s u1 1 首页 则级数收敛 且其和s u1 其余项rn的绝对值 rn un 1 定理 莱布尼茨定理 因为此级数满足 例12 例9 三 绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛 定理 绝对收敛与收敛的关系 应注意的问题 下页 解 下页 定理 绝对收敛与收敛的关系 例13 例10 结束 定理 绝对收敛与收敛的关系 解 例14 例11 二 求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数 先求收敛半径R 再讨论 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 题7 求下列级数的敛散区间 下页 因此 收敛域为 1 1 解 定理 收敛半径的求法 例12 解 因为 所以收敛半径为R 从而收敛域为 下页 定理 收敛半径的求法 例13 解 因为 所以收敛半径为R 0 即级数仅在x 0处收敛 下页 定理 收敛半径的求法 例14 提示 此级数缺少奇次幂的项 前述求收敛半径的方法不能直接应用 提示 解 这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径 当4 x 2 1即 x 时级数收敛 当4 x 2 1即 x 时级数发散 下页 例15 这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径 当4 x 2 1即 x 时级数收敛 当4 x 2 1即 x 时级数发散 下页 解 例16 解 所以收敛半径R 2 所以原级数的收敛域为 1 3 即 2 x 1 2 或 1 x 3 因此收敛域为 2 t 2 首页 例17 求部分和式极限 三 幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分 对和式积分或求导 直接求和 直接变换 间接求和 转化成幂级数求和 再代值 求部分和等 初等变换法 分解 套用公式 在收敛区间内 数项级数求和 提示 解 求得幂级数的收敛域为 1 1 显然S 0 1 因为 提示 下页 例18 解 结束 求得幂级数的收敛域为 1 1 显然S 0 1 因为 例19 练习 解 1 显然x 0时上式也正确 故和函数为 而在 x 0 题8 求下列幂级数的和函数 级数发散 4 显然x 0时 和为0 根据和函数的连续性 有 x 1时 级数也收敛 即得 练习 解 原式 的和 题9 2 求级数 四 函数的幂级数和付式级数展开法 直接展开法 间接展开法 练习 1 将函数 展开成x的幂级数 利用已知展式的函数及幂级数性质