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第十二章微分方程 高阶微分方程 一 可降阶的高阶微分方程 1 高阶微分方程的定义 2 可降阶的高阶微分方程类型 1 2 3 3 可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图 可降阶的高阶微分方程 是通过引入变量进行降阶 转化为成一阶微分方程 通过判定一阶微分方程的类型 求出通解 解题方法流程图如下图所示 解题方法流程图 逐次积分 解一阶微分方程 解一阶微分方程 Yes No 二 二阶常系数线性微分方程 1 定义 1 二阶常系数线性齐次微分方程 2 二阶常系数线性非齐次微分方程 2 解的结构性质 3 齐次方程的解题方法 2 求齐次线性方程的通解 1 写出特征方程 并求特征根 4 非齐次方程的特解 1 若 设特解为 不是特征方程的根 是特征方程的单根 是特征方程的重根 设特解为 2 若 不是特征方程的根 是特征方程的根 5 非齐次方程的解题方法 求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解 一般分为四步 2 求对应的齐次线性方程的通解 4 写出原方程的通解 解题方法流程图如下图所示 1 写出特征方程 并求特征根 解题方法流程图 求通解 例1 求方程的通解 解 由于不显含 令 则 代入原方程整理得 即 因此 再积分一次 即得原方程的通解为 此解可以写成 代入原方程整理得 即 为一阶线性微分方程 利用公式得 即 积分得 代入原方程整理得 分离变量得 积分得 所以 即 从而 分离变量得 所求方程的特解为 分析 由二阶线性非齐次微分方程解的结构 先求出 对应齐次方程 从而得出通解及方程的表达式 特征方程为 对应齐次方程为 对应齐次方程通解为 所求的方程为 通解为 分析 此为二阶常系数非齐次线性微分方程 由解的结 构 先求出对应齐次的通解 再求出其本身的一个特解 解 所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 它的特征方程 解得两个不同的实根 故齐次方程的通解为 由于是型 其中 且 不是特征方程根 所以应设特解 得非齐次方程的通解为 解得 所求的特解为 解 所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 它的特征方程为 解得两个不同的实根 故齐次方程的通解为 由于是型 其中 解之 得 由此求得一个特解为 比较等式两边的系数 得 求出把它们代入原方程 得 故齐次方程的通解为 其中 代入原方程 解之得 故特解为 于是所求通解为 故齐次方程的通解为 属于混合型 令 不是特征方程根 故可设 所以 得 是特征方程根 故可设 求 于是原方程的通解为 可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 即 亦即 分析 此等式中含有积分上限函数 因此想到利用积分 上限函数的性
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