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多元复合函数求导的链式法则 第八章多元函数微分法 第四节 上页下页返回结束 多元复合函数求导 全微分形式不变性 一元函数 求导 微分 回顾 上页下页返回结束 的复合函数 一 多元复合函数求导的链式法则 定理 若 续的偏导数 则复合函数 证略 利用全增量公式 的导数为 上页下页返回结束 有连 可导 注 求多元复合函数的偏导数 只要对每一个中间 变量施行一元函数的链式法则 再相加即可 搞清楚函数的复合关系 重要的是 1 全导数 全导数 中间变量为一元函数 推广 设 2 中间变量是多元函数 上页下页返回结束 而 则 1 复合后的函数有几个自变量 对应地就有几个 偏导数 2 有几个中间变量 就有几项相加 3 相加的每一项都是复合函数对某一中间变量的 偏导数和该中间变量对特定自变量的偏导数的乘积 4 中间变量或自变量只有一个时 公式中的求导 记号用 不止一个时用偏导数记号 上页下页返回结束 上述求导规则称为多元复合函数的链式法则 具有 如下特点 特例1 注 这里 表示固定y对x求导 表示固定v对x求导 与 不同 上页下页返回结束 特例2 例1 设 解 上页下页返回结束 例2 解 求全导数 设 思考其他方法 上页下页返回结束 例3 解 利用全导数 求导数 设 上页下页返回结束 引入中间变量 则 例4 设 解 设 则 上页下页返回结束 为简便起见 引入记号 例5 设 f具有二阶连续偏导数 求 解令 则 上页下页返回结束 例6 求一阶偏导数和 解 上页下页返回结束 二 全微分形式的不变性 的全微 可见无论u v是自变量还是中间变量 则复合函数 其全微分的 表达形式都一样 这一性质称为全微分形式的不变性 设函数 若u v为自变量 则 若u v为中间变量 证 分为 上页下页返回结束 证明 上页下页返回结束 例1 例7 利用全微分形式不变性再解 解 所以 上页下页返回结束 例1 内容小结 1 多元复合函数求导的链式法则 例如 2 全微分形式不变性 不论u v是自变量还是因变量 上页下页返回结束 思考与练习 解答提示 P31习题7 课本P31习题7 8 2 P73习题11 上页下页返回结束 P31题8 2 上页下页返回结束 作业P5118 19 20 22 23 24 25 2 4 26 27 1 3 P73题11 上页下页返回结束 备用题 1
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