高等数学第八章需要与mmm综合.ppt

闫红梅 高等数学 沈阳建筑大学理学院数学2教研室 高等数学课程1 2 高等数学1 2 下册 多元函数 极限 连续 偏导数 全微分 偏导数应用 二重积分 三重积分及应用 无穷级数 向量代数与空间解析几何 曲线积分 曲面积分及应用 高等数学课程1 2 高等数学1 2 必修 本学期96学时 考试课 6学分 平时成绩占20 期末成绩 期末卷面占80 出勤6分满 测验8分满 作业6分满 一般平时成绩平均分16分 要求 1 保证出勤 认真听懂课 不懂处及时问 学会问 2 课后复习 及时并独立完成作业 3 临上课前一天看书了解学过知识 4 关键处记笔记 学会归纳整理 不欠债 5 选一本合适的参考书 6 经常翻看上册书 求导 求积的公式和方法 答疑质疑 节日休息 时间 星期一7 8节 暂定 地点 E3馆 208 209 教师 数学2教研室教师轮流值班制 人员 信息学院 机械学院的学生 交作业时间 每星期三下午E3馆 208室 数量关系 第八章 第一部分向量代数 第二部分空间解析几何 在三维空间中 空间形式 点 线 面 基本方法 坐标法 向量法 坐标 方程 组 空间解析几何与向量代数 四 利用坐标作向量的线性运算 第一节 一 向量的概念 二 向量的线性运算 三 空间直角坐标系 五 向量的模 方向角 投影 向量及其线性运算 第八章 表示法 向量的模 向量的大小 一 向量的概念 向量 又称矢量 既有大小 又有方向的量称为向量 向径 矢径 自由向量 与起点无关的向量 起点为原点的向量 单位向量 模为1的向量 零向量 模为0的向量 有向线段M1M2 或a 规定 零向量与任何向量平行 记作 因平行向量可平移到同一直线上 故两向量平行又称 两向量共线 若k 3 个向量经平移可移到同一平面上 则称此k 个向量共面 二 向量的线性运算 1 向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 运算规律 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 2 向量的减法 三角不等式 3 向量与数的乘法 是一个数 规定 可见 总之 运算律 结合律 分配律 因此 定理1 设a为非零向量 则 为唯一实数 取 且 再证数 的唯一性 则 取正号 反向时取负号 则 注 定理1是建立数轴的理论依据 设点O及单位向量 确定数轴ox 由定理1 必有唯一的实数x 使 实数x 实数x叫做数轴上点P的坐标 例1 设M为 解 练习 化简 化简 解 三 空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系 坐标原点 坐标轴 x轴 横轴 y轴 纵轴 z轴 竖轴 过空间一定点o 坐标面 卦限 八个 zox面 1 空间直角坐标系的基本概念 右手法则 2 向量的坐标表示 OM为对角线 三条坐标轴为棱作长方体 沿三个坐标轴方向的分向量 CPMQ OANB 如图 有对应点M 使 以 于是点M 故定义 的坐标 记作 三个分向量 进而确定了x y z三个有序数 反之 给定三个有序数x y z 一一对应的关系 有序数x y z称为向量 在坐标系Oxyz中 有序数x y z也称为点 或 在坐标系Oxyz中 的坐标 记作 坐标面上的点P Q N 坐标轴上的点A B C 特殊点的坐标 原点O 0 0 0 称为点M关于原点O的向径 一个点与该点的向径有相同的坐标 记号 注意区分 坐标轴 坐标面 四 利用坐标作向量的线性运算 设 则 平行向量对应坐标成比例 向量的加减法 向量与数的乘法运算的坐标表达式 例2 求解以向量为未知元的线性方程组 解 2 3 得 代入 得 例3 已知两点 在AB直线上求一点M 使 解 设M的坐标为 如图所示 及实数 得 即 说明 由 得定比分点公式 点M为AB的中点 于是得 中点公式 五 向量的模 方向角 投影 1 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式 对两点 与 例4 求证以 证 即 为等腰三角形 的三角形是等腰三角形 为顶点 例5 在z轴上求与两点 等距 解 设该点为 解得 故所求点为 及 思考 1 如何求在xoy面上与A B等距离之点的轨迹方程 2 如何求在空间与A B等距离之点的轨迹方程 离的点 提示 1 设动点为 利用 得 2 设动点为 利用 得 且 例6 已知两点 和 解 求 2 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点O 称 AOB 0 为向量 的夹角 类似可定义向量与轴 轴与轴的夹角 与三坐标轴的夹角 为其方向角 方向角的余弦称为其方向余弦 方向余弦的性质 例7 已知两点 和 的模 方向余弦和方向角 解 计算向量 例8 设点A位于第一卦限 解 已知 角依次为 求点A的坐标 则 因点A在第一卦限 故 于是 故点A的坐标为 向径OA与x轴y轴的夹 3 向量在轴上的投影 设 向量的投影的性质 性质1 其中为向量与轴的夹角 性质2 性质3 备用题 解 因 1 设 求向量 在x轴上的投影及在y 轴上的分向量 在y轴上的分向量为 故在x轴上的投影为 2 设 求以向量 行四边形的对角线的长度 该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为 解 为边的平 空间直角坐标系 空间两点间距离公式 注意它与平面直角坐标系的区别 轴 面 卦限 六 小结 向量 向量的坐标 向量的线性运算 向量的方向角