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文档简介

2 第四节对面积的曲面积分 求质量m 引例 设曲面形构件具有连续面密度 采用 分割 近似 求和 取极限 的方法 可得 一 对面积的曲面积分的概念与性质 3 定义 设 为光滑曲面 f x y z 是定义在 上的一个 有界函数 若对 做任意分割和局部区域上任意取点 乘积和式极限 都存在 则称此极限为函数f x y z 在曲面 上对面积的 曲面积分或第一类曲面积分 记作 其中f x y z 叫做被积函数 叫做积分曲面 据此定义 曲面形构件的质量为 曲面面积为 4 如果f x y z 在光滑曲面 上连续 则对面积的曲面 积分存在 如果 是分片光滑的 例如分成两片光滑曲面 则有 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质 k为常数 5 定理 设光滑曲面 由方程z z x y 在xoy面上的投影区域为 f x y z 在 上连续 存在 且有 二 对面积的曲面积分的计算法 给出 则曲面积分 证明 由定义知 而 6 7 计算公式 则 8 则 则 9 例1 解 10 11 解 依对称性知 12 13 14 例3 15 解 16 左右两片投影相同 17 18 例4 解 19 20 例5 计算 其中 是介于平面 之间的圆柱面 解 将分成 21 例5 计算 其中 是介于平面 之间的圆柱面 另解 取曲面面积元素 则 22 例6 计算 其中 是球面 解 利用对称性可知 球心 半径 23 四 小结 2 对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算 1 对面积的曲面积分的概念 按照曲面的不同情况分为三种 24 25 思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中 有因子 试说明这个因子的几何意义 26 思考题解答 是曲面元的面
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