江苏省连云港市田家炳中学高三数学 52平面向量基本定理及坐标表示复习课件.ppt

第二节平面向量的基本定理及坐标表示 基础梳理 1 平面向量基本定理及坐标表示 1 平面向量基本定理定理 如果e1 e2是同一平面内的两个的向量 那么对于这一平面内的任意向量a 一对实数 1 2 使a 其中 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2 平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1 e2表示成a 1e1 2e2的形式 我们称它为向量a的分解 当e1 e2所在直线时 这种分解称为向量a的正交分解 不共线 有且只有 1e1 2e2 不共线的向量e1 e2 互相垂直 3 平面向量的坐标表示 一般地 对于向量a 当它的起点移至原点o时 其终点的坐标 x y 称为向量a的 直角 坐标 记作 若分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 则a xi yj 2 平面向量的坐标运算 1 加法 减法 数乘运算 a x y x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1 y1 2 向量坐标的求法已知a x1 y1 b x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 即一个向量的坐标等于该向量的坐标减去的坐标 3 平面向量中平行 共线 向量的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 其中a 0 则a与b共线 b 终点 始点 a x1y2 x2y1 0 基础达标 1 必修4p73练习5改编 已知a 2 3 b 5 3 a x 1 x 2y 与相等 则实数x y的值分别是 2 已知a 2 3 b 1 5 则3a b 3 2011 湖南雅礼中学月考 已知点g是 abc的重心 r 那么 4 必修4p75练习1改编 向量a 2 5 与b x 15 平行 则x 5 必修4p73练习2改编 已知o是坐标原点 点a在第一象限 xoa 60 则的坐标为 2 1 5 14 6 经典例题 题型一平面向量基本定理 例1 如图 在 oab中 ad与bc交于点m 设 a b 以a b为基底表示 分析 本题可用待定系数法 设 ma nb m n r 再利用向量的运算及共线向量的条件列出方程组 确定m n的值 解 设 ma nb m n r 则 m 1 a nb 因为a m d三点共线 所以 即m 2n 1 而 又因为c m b三点共线 所以 即4m n 1 由 解得 所以 变式1 1如图所示 oadb是以向量 a b为边的平行四边形 点c为对角线ab od的交点 又bm bc cn cd 试用a b表示 又 题型二平面向量的坐标运算 例2 已知点a 1 2 b 2 8 以及 求点c d的坐标和cd的坐标 分析 根据题意可设出点c d的坐标 然后利用已知的两个关系式列方程组 求出坐标 解 设点c d的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 由题意得ac x1 1 y1 2 ab 3 6 da 1 x2 2 y2 ba 3 6 因为 所以有和解得和所以点c d的坐标分别是 0 4 2 0 从而 2 4 变式2 1 2010 山东改编 定义平面向量之间的一种运算 如下 对任意的a m n b p q 令a b mq np 则下面说法错误的有 写出所有错误说法的序号 若a与b共线 则a b 0 a b b a 对任意的 r 有 a b a b 若a与b共线 则有a b mq np 0 故 正确 因为b a pn qm 而a b mq np 所以a b b a 故 错误 易证 正确 故应该填 解析 题型三平面向量的坐标表示 例3 平面内给定三个向量a 3 2 b 1 2 c 4 1 1 若 a kc 2b a 求实数k 2 设d x y 满足 d c a b 且 d c 1 求d 分析 1 由两向量平行的条件得出关于k的方程 从而求出实数k的值 2 由两向量平行及 d c 1得出关于x y的两个方程 解方程组即可得出x y的值 从而求出d 解 1 a kc 2b a 又a kc 3 4k 2 k 2b a 5 2 2 3 4k 5 2 k 0 k 2 d c x 4 y 1 a b 2 4 又 d c a b 且 d c 1 解得 变式3 1已知梯形abcd中 a 1 1 b 3 2 c 3 7 若 求d点坐标 解 设d点坐标为 x y 则 x 1 y 1 2 3 x 3 y 7 6 5 2 y 7 3 x 3 0 即3x 2y 23 0 又 x 1 10 y 1 0即x 10y 11 0 由 得 d点坐标为 9 2 题型四向量的综合应用问题 例4 已知o 0 0 a 1 2 b 4 5 及 试问 1 t为何值时 点p在x轴上 在y轴上 点p在第二象限 2 四边形oabp能否成为平行四边形 若能 求出相应的t值 若不能 请说明理由 分析 利用向量相等 建立点p x y 与已知向量之间的关系 表示出p点的坐标 然后根据实际问题确定p点坐标的符号特征 从而解决问题 解 1 o 0 0 a 1 2 b 4 5 1 2 3 3 1 3t 2 3t 若点p在x轴上 则2 3t 0 解得t 若点p在y轴上 则1 3t 0 解得t 若p在第二象限 则解得 t 2 1 2 3 3t 3 3t 若四边形oabp为平行四边形 则 而无解 故四边形oabp不能成为平行四边形 变式4 1如图所示 已知点a 4 0 b 4 4 c 2 6 求ac和ob交点p的坐标 解析 方法一 设p x y 则 x y 4 4 共线 4x 4y 0 又 x 2 y 6 2 6 且向量 共线 6 x 2 2 6 y 0 解由 组成的方程组 得x 3 y 3 点p的坐标为 3 3 方法二 设 t 4 4 4t 4t 则 4t 4t 4 0 4t 4 4t 又 2 6 4 0 2 6 由 共线的充要条件知 4t 4 6 4t 2 0 解得t 4t 4t 3 3 p点坐标为 3 3 易错警示 例 已知点a 1 2 点b 3 6 则与ab共线的单位向量为 错解由a 1 2 b 3 6 知 错解分析与共线有两种情况 一是同向共线 一是反向共线 错解 中忽略了反向共线这一情况 正解 解析 与同向时为 与反向时为