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第十二节 一 最值定理 二 介值定理 闭区间上连续函数的性质 第一章 从几何直观上看 闭区间 a b 上的一条连续曲线 必有一点达到最高 也有一点达到最低 如上图 对于任意 这时我们说闭区间 a b 上的连续函数在点x1处有最大值 在点x2处有最小值 闭区间上连续函数的性质 注意 若函数在开区间上连续 结论不一定成立 一 最值定理 定理1 在闭区间上连续的函数 即 设 则 使 值和最小值 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 证明略 点 也无最大值和最小值 又如 例 函数 在开区间内是连续的 但它在开区间内是无界的 即无最值 若函数在开区间上连续 结论不一定成立 或在闭区间内有间断 点 由定理1可知有 证 设 上有界 推论在闭区间上连续的函数在该区间上有界 例如 无最大值和最小值 有界与有最值的区别 二 零点定理与介值定理 定理2 零点定理 至少有一点 且 使 证明略 如果使 则称为函数的零点 则 且 故由零点定理知 至少有一点 使 即 定理3 介值定理 设 且 则对A与B之间的任一数C 使 至少有 一点 推论 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值m与 最大值M之间的任何值 M m 证 作辅助函数 例1 证明方程 一个根 证 显然 又 故据零点定理 至少存在一点 使 即 在区间 内至少有 内容小结 这等式说明方程 在区间 内至少有 一个根 证设 因为 在 内连续 所以 在 上也连续 而 所以 由零点定理知 至少有一个 使得 即方程 内容小结 在 上达到最大值与最小值 上可取最大与最小值之间的任何值 4 当 时 使 必存在 上有界 在 在 则 证明至少存在 使 提示 令 则 易证 设 作业P541 2 3 一点 习题课 思考与练习 证明 令 显然在上连续 已知 故 则当时 可取或 而当时 由零点定理 至少 使得 分析如果令 那么证明等式成立等价于有零点 因此可用零点定理证明 即 思考题 至少有一个不超过
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