07广东理数.doc

2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东理科卷）编辑：广东省连南民族高级中学绿梦飘渺一选择题：各分，共40分。已知函数f（x）的定义域为M，g（x）ln（1x）的定义域为N，则MNxx1xx1x1x1 解要确保f（x）有意义，需要1x0x1；要确保g（x）有意义，需要1x0x1。所以答案是。若复数（1bi）（2i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b解（1bi）（2i）2b（2b1）i，因为是纯虚数，所以2b0，得b2。答案是。若函数f（x）sin2x（xR），则f（x）是：最小正周期为的奇函数最小正周期为的奇函数最小正周期为2的偶函数 最小正周期为的偶函数解f（x）sin2x（12 sin2x）cos2xcos（2x2）cos2（x）所以函数的最小正周期是。又f（x）sin2（x）（sinx）2sin2xf（x），所以函数是偶函数。综上所述，得出答案是。客车从甲地以60kmh的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80kmh的速度匀速行驶1小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是：解客车在中途停留的半小时里，经过的路程保持在60km不变，所以排除了；客车行驶的总路程是140km，所以排除了；客车从甲地到丙地所用的总时间是2.5h，所以排除了，从而得出答案是。已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足5ak8，则k解由Snn29n得Sn1（n1）29（n1）n211n9，所以an2n10，再由5ak8得52k108152k187.5k9，于是有k8。答案是。图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、A10如A2表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数，图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是：图图i6 i7 i8i9解由题意，A2表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数，从图中可知，A8表示身高为（180，185）内的学生人数。所以答案是。下图是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点的某种配件各50件，在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为：15161718解第一步：将配件从维修点调动10件到维修点；第二步：将配件从维修点调动5件到维修点；第三步：将配件从维修点调动1件到维修点。所以答案是。设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”即对任意的a，bS，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素ab与之对应。若对任意的a，bS，有a（ba）b，则对任意的a，bS，下列等式中不恒成立的是：（ab）aaa（ba）（ab）ab（bb）b （ab）b（ab）b解对任意的a，bS，有a（ba）b，所以a（ba）（ab）b（ab）a，可见成立；、明显成立。利用排除法，得出答案是。二填空题：各分，共30分。其中1315小题只能选做两题。甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同。其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为。（答案用分数表示）解从甲袋中取出红球的概率是，从乙袋中取出红球的概率是，所以取出的两球都是红球的概率是。10若向量，满足，与的夹角为120，则。解与的夹角为120，所以有cos120，而，得，又21，于是1。11在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px（p0）的焦点，则该抛物线的准线方程是。解线段OA的斜率是，线段OA的中点是（1，），所以线段OA的垂直平分线方程是y2（x1），而抛物线y22px的焦点是（，0），该焦点在y2（x1）上，得2（1），解得p，于是抛物线y22px的准线方程是x。12如果一个凸多面体n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条。这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4），f（n）。（答案用数字或n的解析式表示）解第一空：这个n棱锥的底面有n条边，所以这个n棱锥的棱数是2n，面数是（n1），由欧拉公式可知该n棱锥的顶点数是22n（n1）n1。在这（n1）个点中，每个顶点与另外的n个点确定了n条直线，共有（n1）个顶点，所以确定了n（n1）条直线，但是，这些直线中有一半是重复计算的，于是，第一空的答案是n（n1）。第二空与第三空：设这个n棱锥是pA1A2A3An，任意两条棱所在的直线都是相交直线，显然每一对棱都是共面直线，底面上所有过两顶点的直线也在一个面上，这样，就只需考虑棱与底面直线之间构成的异面直线了。对于每条棱来说，不失一般性地考虑棱PA1，那么，A1A2、A1A3、A1A4、A1An这（n1）条直线与PA1共点，A1A2、A1A3、A1A4、A1An这（n1）条直线就分别与直线PA1构成（n1）对共面直线。而底面上共有n个顶点，过两顶点的直线共有n（n1）条，得出能与PA1构成异面直线的直线数是n（n1）（n1）（n1）（n2），即每条棱所在的直线能与底面过两顶点的直线中构成（n1）（n2）对异面直线。于是n条棱所在的直线就能与底面过两顶点的直线中构成n（n1）（n2）对异面直线。从而得出f（n）n（n1）（n2）。进而有f（4）12。13（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xy中，直线L的参数方程为，（参数），圆的参数方程为（参数），则圆的圆心坐标为，圆心到直线L的距离为。解消去的参数，得x2（y2）24；消去的参数，得xy6。所以圆的圆心坐标是（0，2）。圆心到直线L的距离是。14（不等式选讲选做题）设函数f（x）2x1x3，则f（2）；若f（x）5，则x的取值范围是。解f（2）41236。若f（x）5，则2x1x35。如果2x10，那么x，此时2x1x3，满足f（x）5。如果2x10，那么12xx35x1。如果2x10，那么2x1x35x1。综合得x的取值范围是1，115（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线L，过A作L的垂线AD，AD分别与直线L、圆交于点D、E，则DAC，线段AE的长为。解法一C为圆周上一点，AB是直径，所以ACBC，而BC3，AB6，得BAC30,进而得B60，所以DCA60，又ADC90，得DAC30。连接BE，则AEB90,BADBACDAC60,得ABE30,从而有AEAB3。解法二由解法一得出BAD60后，连OE，显然OAOE，所以OAE是正三角形，从而有AEOAAB3。解法三由解法一得出BAD60后，连CE，CEDB60得ABEC，从而有AEBC3。三解答题：需写出文字说明，证明过程和演算步骤。16（12分）已知ABC顶点的直角坐标分别为（3，4）、（0，0）、（c，0）。（）若c5，求sinA的值。解法一当c5时，AB5，BC5，由勾股定理得AC，可见ABC是以AC为底边的等腰三角形。设ABC底边上的高为BD，则有ADAC，得BD，于是得sinA。解法二由解法一求得AB5，BC5，AC后，根据余弦定理，有cosA，所以sinA。解法三由解法一求得AB5，BC5，AC后，可易求得ABC的半周长s5，由海伦公式得ABC的面积S10，而SABACsinA所以sinA。解法四利用行列式得ABC的面积S10，而SABACsinA所以sinA。解法五（3，4），（2，4），得cosA于是sinA。（）若A是钝角，求c的取值范围。解法一AB5，BCc，AC，要使A是钝角，就需要cosA0，即0AB2AC2BC2025（256cc2）c206c50c。所以c的取值范围是（，）。解法二（3，4），（c3，4），要使A是钝角，就需要cosA0，即003（c3）1603c25c。所以c的取值范围是（，）。17（12分）下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据。x3456y2.5344.5（）请画出上表数据的散点图。（）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程yx。（）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：32.5435464.566.5）解（）见右图所示。（）32.5435464.566.532425262916253686，4.5，3.5，得0.7，3.50.74.50.35，于是得出所要求的回归方程是y0.7x0.35。（）取x100，代入y0.7x0.35中，得y70.35，所以能节约标准煤9070.3519.65（吨）。18（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为的圆C与直线yx相切于坐标原点O，椭圆1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。（）求圆C的方程。（）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长。若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。解（）设圆C的圆心坐标是K（m，n），且m、n0，则有OK，即圆C与直线yx相切，有OK与直线yx垂直，得1mn。由得，得圆C的方程是（x2）2（y2）28。（）由椭圆1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，得2a10，即a5，所以c4，即椭圆的右焦点坐标是F（4，0），也就是线段OF的长为4。假设圆C上存在原点的点Q（，），使得4，考虑（A2）2（B2）28，得，Q（，）不在原点，所以A0，得。即在圆C上存在原点的点Q（，），使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长。19如图所示，等腰ABC的底边AB，高CD3，点E是线段BD上异于点B、D的动点，F在BC边上，且EFAB。现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE。记BEx，V（x）表示四棱锥PACFE的体积。（）求V（x）的表达式；（）当x为何值时，V（x）取得最大值？（）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。解（）AB是等腰ABC的底边，CD是ABC的高，所以ADBDAB，又EFAB，得EFDCEFBEx。显然有PEBE，PEEF，又PEAE，得PE面ABC，即PE是四棱锥PACFE的高。连PB，就有V（x）VPABCVPBEFPE（SABCSBEF）（ABCDBEEF）（3xx）x3x，因为点E是线段BD上异于点B、D的动点，所以0x，于是V（x）x3x（0x）。（）V（x）x2，V（x）x0，所以当V（x）0时，V（x）有最大值。令V（x）0，即x20，得x6（x不可能是负数）。所以当x6时，V（x）取得最大值。（）方法一过F作GFAC交AB于G，则PFG的余弦值就是异面直线AC与PF所成角的余弦值。易知有BGFBACABCGF2BF2BE2EF2x2（x）262642；PF2BF242；易知E是BG的中点，所以PG2PE2EG2BE2BE22x226272。于是cosPFG。即异面直线AC与PF所成角的余弦值为。方法二以E为原点，AB为x轴，EF为y轴，EP为z轴建立空间直角坐标系。有A（6，0，0），C（6，3，0），F（0，0），P（0，0，6）所以（，3，0），（0，6）。设异面直线AC与PF所成角为，则cos。20（14分）已知a是实数，函数f（x）2ax22x3a，如果函数yf（x）在区间1，1上有零点，求a的取值范围。解法一如果a0，那么f（x）2x3，此时若有零点，就有x1.51，不合题意，应不考虑。当a0时，令f（x）2ax22x3a0x，要满足题意，就需要11，即11。（一）取正号且a0时，或由，无解。由a。（二）取正号且a0时，或由，无解。由a1（三）取负号且a0时，a。（四）取负号且a0时，a5以上（一）、（二）、（三）、（四）都能独立满足题意，而（一）和（三）所求得的a的取值范围一致，（二）所求得的a的取值范围包含了（四），于是得到满足题意的a的取值范围是（，1，）。解法二如果a0，那么f（x）2x3，此时若有零点，就有x1.51，不合题意，应不考虑。当a0时，令f（x）2ax22x3a0a（2x21）32x。因为x1，1，所以32x1，5，设t32x，得t0，且x，可得33，又当t1时，1；当t5时，。所以在x1，1上，有31。当a0时，a。当a0时，a1。综合得满足题意的a的取值范围是（，1，）。21（14分）已知函数f（x）x2x1，、是方程f（x）0的两个根（），是f（x）的导数。设a11，an1an（n1，2，）。（）求、的值。（）证明：对任意的正整数n，都有an。（）记bnln（n1，2，），求数列bn的前n项和Sn。解（）由求根公式得x，而、是方程f（x）0的两个根，且，所以，。（）由f（x）x2x1，得2x1。利用数学归纳法证明。当n1时,a11，命题成立。当n2时，a2a111，命题成立。假设当nk时，命题成立，即有ak