§10.4对面积的曲面积分.ppt

10 4对面积的曲面积分 前面已经介绍了两类曲线积分 对第一类曲线积分 其物理背景是曲线型构件的质量 在此质量问题中若把曲线改为曲面 线密度改为面密度 小段曲线的弧长改为小块曲面的面积 相应地得和式 一 对面积的曲面积分的概念和性质 所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面 且当点在曲面上连续移动时 切平面也连续转动 分析 我们同样可以使用 分割 近似 求和 取极限 的方法讨论该曲面的质量问题 实例 若曲面 是光滑的 它的面密度 x y z 为连续函数 求它的质量 抽象概括得到对面积的曲面积分的概念 定义 设曲面 是光滑的 函数f x y z 在 上有界 把 任意分成n小块 Si 同时 Si也表示第i小块曲面的面积 设点 i i i 为 Si上任意取定的点 作乘积f i i i Si 并作和 如果当各小块曲面的直径的最大值 0时 这和式的极限存在 则称此极限为函数f x y z 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分 并记为 即 其物理意义是面密度为f x y z 的曲面 的质量 其中f x y z 叫作被积函数 叫作积分曲面 由上述定义可知 其性质与对弧长的曲线积分的性质完全类似 对面积的曲面积分的性质 1 对函数的线性性质 2 对积分曲面的可加性 3 存在性定理 若函数f x y z 在曲面 上连续 则f x y z 在曲面 上对面积的曲面积分存在 二 对面积的曲线积分的计算法 设积分曲面 的方程 z z x y 在xoy面上的投影区域为Dxy 函数z z x y 在Dxy上具有连续的偏导数 且设被积函数f x y z 在 上连续 z z x y Si 设 上的第i块小曲面 Si 它的面积也记作 Si 在xoy面上的投影区域为 i 它的面积也记作 i 则 Si可表示为二重积分 由假设条件 利用二重积分的中值定理 可得 其中 i i i 对应曲面 上的点Pi i i i 且有 i z i i 作和式 由以上假设知 上式两边当 0时的极限存在 即 上式左边为函数f x y z 在 上对面积的曲面积分 而右边为一个在区域Dxy上的二重积分 因此有 这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式 按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式 1 若曲面 为 z z x y 则 2 若曲面 为 y y z x 则 3 若曲面 为 x x y z 则 这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式 简述为 一代 二换 三投影 代 将曲面的方程z z x y 代入被积函数 换 换面积元素dS投影 将曲面投影到xoy坐标面 得投影区域Dxy 注1 这里积分曲面的方程必须是单值显函数 否则可利用可加性 分块计算 结果相加 注2 把曲面投影到哪一个坐标面 取决于曲面方程即方程的表达形式 注3 将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数 注4 切记任何时候都要换面积元 其中 为平面y z 5被 例1 计算 柱面x2 y2 25所截得的部分 解 积分曲面 z 5 y 其投影区域Dxy x2 y2 25 面积元素 故 与平面z 1所围成的区域的整个边界曲面 解 将 分成两部分 例2 计算 其中 为锥面 1 2在xoy面的投影区域 D x2 y2 1 1 例3 计算 其中 为介于平面z 0与 z H之间的圆柱面x2 y2 R2 解 令 为 在第一卦 1在xoz面的投影区域为Dzx 0 z H 0 x R 限的部分 又由函数及积分曲面的对称性有 例4 计算 其中 为抛物面z x2 y2 0 z 1 解 抛物面 z x2 y2和被积函数 xyz 都关于坐标面xoz yoz对称 则依对称性知 设 1为 在第一卦限部分的曲面 而 1在xoy面上的投影Dxy x2 y2 1 x 0 y 0 用极坐标计算 令u 1 4r2 注 对面积的曲面积分有完全类似与三重积分的对称性 设 对称于xoy 或yoz 或zox 坐标面 若f x y z 关于z 或x 或y 是奇函数 则 若f x y z 关于z 或x 或y 是偶函数 则 其中 1是 位于对称坐标面一侧的部分 例5 计算 解 在xoy面上的投影区域Dxy x2 y2 2ax 其中 为锥面 被柱面x2 y2 2ax所截得的部分 积分曲面方程 则 故 由于积分曲面关于yoz坐标面对称 例6 计算 x2 y2 z2 a2的八面体 x y z a的表面 其中 为内接于球面 解 被积函数f x y z x2 y2 z2关于坐标面 原点均对称 积分曲面 也具有同样的对称性 设 1表示 在第一卦限部分的曲面 故原积分满足 而 1的方程为 x y z a 即z a x y 所以 重心 转动惯量 几何应用 质量 对面积的曲面积分的应用 物理应用 曲面 的面积 例7 求均匀曲面 的重心坐标 解 由上半球面的对称性知 D x2 y2 a2 故重心坐标为 0 0 a 2 所以 例8 求密度为 0的均匀半球壳x2 y2 z2 a2 z 0 对于z轴的转动惯量Iz 解 半球壳在xoy面上的投影D x2 y2 a2 所以 例9 计算 解 由奇偶对称性知 上半球面 1 下半球面 2 其中 为球面x2 y2 z2 2Rz的整个表面 为计算 须将 分成两部分 1 2在xoy面上的投影区域D x2 y2 R2 另解 由曲面形心公式 而 的形心坐标为 0 0 R 所以 故 球面面积 代 将曲面的方程z z x y 代入被积函数 换 换面积元素dS投影 将曲面投影到xoy坐标面 得投影区域Dxy 三 小结 1 对面积的曲面积分的概念 2 对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算 按照曲面的不同情况分为三种 一代 二换 三投影 故是曲面法线与z轴夹角的余弦