【十年高考】24-2013年高考数学真题分类汇编(教师自己整理)函数.doc

函数一、选择填空题1.（江苏2004年5分）若函数的图象过两点(1，0)和(0，1)，则【 】(A) =2，=2 (B)=，=2 (C)=2，=1 (D)=，=【答案】A。【考点】对数函数的单调性与特殊点。【分析】将两点代入即可得到答案：函数y=log（x+）（0，1）的图象过两点（1，0）和（0，1），log（1+）=0，log（0+）=1。=2，=2。故选A。2.（江苏2004年5分）函数在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是【 】(A)1，1 (B)1，17 (C)3，17 (D)9，19【答案】C。【考点】函数的最值及其几何意义。【分析】用导研究函数在闭区间3，0上的单调性，利用单调性求函数的最值：，且在3，1）上，在（1，0上函数在3，1上是增函数，在1，0上是减函数。又，函数在闭区间3，0上的最大值是3，最小值分别为17。故选C。3.（江苏2005年5分）函数的反函数的解析表达式为【 】A B C D【答案】A。【考点】反函数。【分析】由函数解析式解出自变量，再把 、位置互换，即可得到反函数解析式： 的反函数为：。故选 A。4.（江苏2005年4分）若，,则= 【答案】1。【考点】指数函数的单调性与特殊点。【分析】先判断出0.618所在的范围，必须与3有关系，再根据在定义域上是增函数，得出所在的区间，即能求出的值：0.6181，且函数在定义域上是增函数，10，则=1。5.（江苏2005年4分）已知为常数，若，则= 。【答案】2。【考点】复合函数解析式的运用，待定系数法。【分析】由， 得：， 即：。 比较系数得：，解得或。 求得：。6.（江苏2007年5分）设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，则有【 】A BC D【答案】B。【考点】指数函数的单调性与特殊点，函数图象的对称性。【分析】由函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，为单调增函数，由对称性知当时，是单调减函数，其图象的特征是自变量离1的距离越远，其函数值越大。，。故选B。7.（江苏2007年5分）设是奇函数，则使的的取值范围是【 】A B C D【答案】A。【考点】奇函数的性质，对数函数的单调性。【分析】是奇函数，得。由得解得 。故选A。8.（江苏2009年5分）函数的单调减区间为 .【答案】。【考点】利用导数判断函数的单调性。【分析】要求函数的单调减区间可先求出，并令其小于零得到关于的不等式求出解集即可：，由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。9.（江苏2009年5分）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 .【答案】。【考点】指数函数的单调性。【分析】，函数在R上递减。由得：。10.（江苏2010年5分）设函数是偶函数，则实数=【答案】1。【考点】函数奇偶性的性质。【分析】是偶函数，为奇函数。 ，即。=1。11.（江苏2010年5分）已知函数,则满足不等式的的范围是。【答案】。【考点】分段函数的单调性。【分析】分段讨论： 当时，则，。无解。 当时，则，。由得，1，解得。此时的范围是（1，0）。 当时，则，。由得，解得。此时的范围是0，）。 当时，则，。由得1，无解。 综上所述，满足不等式的的范围是。12.（江苏2010年5分）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是。【答案】。【考点】求闭区间上函数的最值。【分析】设剪成的小正三角形的边长为，则：令，则：。当时，有最大值，其倒数有最小值。当，即时，S的最小值是。本题还可以对函数S进行求导，令导函数等于0求出的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值。13.（江苏2011年5分）函数的单调增区间是_【答案】。【考点】对数函数图象和性质。【分析】由，得，所以函数的单调增区间是。14.（江苏2011年5分）已知实数，函数，若，则a的值为【答案】。【考点】函数的概念，函数和方程的关系，含参数的分类讨论。【分析】根据题意对分类： 当时， ，解之得，不合舍去；当时，解之得。15.（江苏2011年5分）在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为，则的最大值是【答案】。【考点】指数运算，函数的导数的求法及导数的几何意义，导数用于求函数的最值。【分析】设P点坐标为，由得，的方程为，令得，。过点P的的垂线方程为，令得，。对函数求导，得，在上单调增，在单调减，当时，函数的最大值为。16. （2012年江苏省5分）函数的定义域为 【答案】。【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得。17. （2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 【答案】9。【考点】函数的值域，不等式的解集。【解析】由值域为，当时有，即， 。 解得，。不等式的解集为，解得。18、（2013江苏卷1）、函数的最小正周期为 19、（2013江苏卷11）11已知是定义在上的奇函数。当时，则不等式的解集用区间表示为 。 11 10、（2013江苏卷13）13在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 。答案：13或 二、解答题1.（江苏2005年12分）已知，函数当时，求使成立的的集合；（4分）求函数在区间上的最小值（10分）【答案】解：（1）由题意，当时，由，解得或；当时，由，解得综上，所求解集为。（2）设此最小值为当时，在区间1，2上，是区间1，2上的增函数，所以。当时，在区间1，2上，由知，。当时，在区间1，2上，若，在区间（1，2）上，则是区间1，2上的增函数，。若，则，当时，则是区间1，上的增函数，当时，则是区间，2上的减函数，当时，或。当时，故。当时，故。综上所述，所求函数的最小值。【考点】函数与导数综合运用，分段函数的解析式求法。【分析】（1）把代入函数解析式，根据绝对值的符号分为两种情况，即和分别求解对应方程得根，再把所有的根用列举法表示出来。（2）根据区间1，2和绝对值内的式子进行分类讨论，即、和三种情况，分别求出解析式和它的导函数，利用导函数的符号判断在闭区间上的单调性，再求最小值；当时最小值可能取在区间的两端，再通过作差和分类进行比较两个函数值的大小，最后用分段函数表示函数的最小值。2.（江苏2006年16分）设a为实数，设函数的最大值为g(a)。（）设，求的取值范围，并把表示为的函数（4分） （）求 （6分） （）试求满足的所有实数（6分）【答案】解：（）对于，要使有意义，必须且，即。，。的取值范围是。由得， 。（）由题意知为函数的最大值，注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论：当时，函数, 的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，。 (2)当时，。(3)当时,函数, 的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即则；若，即则；若，即则 综上,得 。（）情形1：当时，此时，。由解得，与矛盾。情形2：当时，此时，。由解得与矛盾。情形3：当时，此时。 所以。情形4：当时，此时，。由解得，与矛盾。情形5：当时，此时，。由解得，与矛盾。情形6：当时，此时, 。由解得，由得。综上所述，满足的所有实数为或。【考点】函数最值的应用【分析】（I）由先求定义域，再求值域。由转化。（II）求的最大值，即求函数的最大值严格按照二次函数求最值的方法进行。（III）要求满足的所有实数，则必须应用的解析式，它是分段函数，必须分情况选择解析式进行求解。3.（江苏2007年16分）已知是不全为的实数，函数，方程有实根，且的实数根都是的根，反之，的实数根都是的根，（1）求的值；（3分）（2）若，求的取值范围；（6分）（3）若，求的取值范围。（7分）【答案】解：（1）设是的根，那么，则是的根，则即，。（2），则=0的根也是的根。（a）当， 时，此时的根为0，而的根也是0，。（b）当， 时，的根为0，而的根也是0。（c）当，时，的根为0和，而的根不可能为0和，必无实数根，由解得。综上所述，当时，；当时，。（3），即的根为0和1。=0必无实数根。（a）当时，=，即函数在，恒成立。又，即。（b）当时，=，即函数在，恒成立。又，即，而，不可能小于0。（c）则这时的根为一切实数，而，符合要求。综上所述，。【考点】函数与方程的综合运用。【分析】（1）不妨设为方程的一个根，即，则由题设得，从而由求解。（2）由（1）知所以有=0。而方程。最后按方程的类型，分（）， ，（）， ，（），讨论。（3）由得，将函数的系数都用表示，分，三种情况讨论。4.（江苏2008年16分）已知函数，（为常数）函数定义为：对每个给定的实数，（1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；（2）设是两个实数，满足，且若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）【答案】解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于（对所有实数）这又等价于，即对所有实数均成立. （*） 由于的最大值为， 故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件。（2）分两种情形讨论： （i）当时，由（1）知（对所有实数）Oyx(a,f(a)(b,f(b)图1则由及易知， 再由的单调性可知，函数在区间上的单调增区间的长度为（参见示意图1）（ii）时，不妨设，则，于是 当时，有，从而；当时，有从而 ；当时，及，由方程 解得图象交点的横坐标为Oyx(a,f(a)(b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)图2 显然，这表明在与之间。由易知 。综上可知，在区间上， （参见示意图2）故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得 故由、得 。综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。【考点】指数函数综合题。【分析】（1）根据题意，先证充分性：由的定义可知，对所有实数成立，等价于对所有实数成立，等价于，即 对所有实数均成立，分析容易得证。再证必要性：对所有实数均成立等价于，即。 （2）分两种情形讨论（i）当时，由中值定理及函数的单调性得到函数在区间上的单调增区间的长度；（ii）时，是两个实数，满足，且，根据图象和函数的单调性得到函数在区间上的单调增区间的长度。5.（江苏2009年16分）设为实数，函数.(1)若，求的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.【答案】解（1）若，则 当时，； 当时，无解。 的取值范围为。（2）当时，；当时，综上。（3）当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为。【考点】二次函数的性质，一元二次不等式的解法。【分析】（1）再去绝对值求的取值范围。（2）分和两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，最后综合即可。（3）转化为，因为不等式的集由对应方程的根决定，所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可。时，由得，当时，；当时，0,得：。因此，讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为。6.（江苏2010年16分）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质。(1)设函数，其中为实数。(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。(2)已知函数具有性质。给定设为实数，且，若|0，对任意的都有，在上递增。又，当时，且， 综上所述，所求的取值范围是（0，1）。【考点】利用导数研究函数的单调性。【分析】（1）(i)先求出函数的导函数，然后将其配凑成这种形式，再说明对任意的（1，+）都有0，即可证明函数具有性质； (ii)设，分和两种情况讨论：根据(i)令，讨论对称轴与2的大小，当时，对于，0，所以0，可得）在区间（1，+）上单调性，当时， 图象开口向上，对称轴，可求出方程=0的两根，判定两根的范围，从而确定的符号，得到的符号，求出单调区间。（2）对求导，由已知条件，应用不等式的性质求解。7.（江苏2011年14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm.（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【答案】解：设包装盒的高为，底面边长为。由已知得。（1），当时，S取得最大值。（2），。由得，(舍)或。当时；当时，当时取得极大值，也是最大值，此时，即包装盒的高与底面边长的比值为。【考点】建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用【分析】（1）可设包装盒的高为，底面边长为，写出，与的关系式，并注明的取值范围再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可。（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值即可。8.（江苏2011年16分）已知，是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致.（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数的取值范围；（2）设且，若函数和在以，为端点的开区间上单调性一致，求|的最大值.【答案】解：由得。（1）由题意得，在上恒成立。，。，即在区间上恒成立。，的取值范围是。（2）令，解得。若，由得。又，函数和在上不是单调性一致的。当时，。函数和在上不是单调性一致的。当时，。函数和在上是单调性一致的。由题设得且，从而，于是。，且当时等号成立。又当时，)，从而当时，函数和在上单调性一致的。的最大值为。【考点】单调性概念，导数运算及应用，含参数不等式恒成立问题。【分析】（1）先求出函数和的导函数，再利用函数和在区间1，+）上单调性一致即在-1，+）上恒成立，以及，来求实数的取值范围。（2）先求出的根，讨论的取值范围，得到。再讨论和时两个单调性一致的情况，从而求得|的最大值。9.（2012年江苏省16分