一元一次不等式及不等式组有解无解的深度探索.doc

一元一次不等式及不等式组有解无解的深度探索四川省仁寿县城北实验初级中学 刘树明一、教材地位及学生学情分析：一元一次不等式和不等式组作为刻画现实世界中数量关系的基本模型，是初中学生必须理解和掌握的一个重点知识，更关系到他们以后在高中一元二次不等式的继续学习，所以无论是以前的老人教版还是现在全国各地的各种版本，都把这一章的学习作为了重点并将其列入中考中的必查模型，但由于学生从小开始基本接触的都是相等关系，对于相等关系的数学模型容易建立，而对于不等关系的模型却比较陌生，所以在学习这一章时学生觉得特别困难，尤其是在学习了一元一次不等式和不等式组的基本解法之后，综合应用解法进行推导时更是茫然无措。比如下面几道综合应用解法的题：（1）、如果关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）A m1 B m1 C m1 D m1（2）、不等式组 的解集是x5，那么a的取值范围_（3）、已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是 （4）、不等式2（x3）2a1的自然数解只有0、1、2三个，则a的取值范围是_这几道题牵涉灵活应用一元一次不等式和不等式组的解法，对于学生来说也具有相当的深度和难度，对于老师的引导来说也是一种考验，如果引导得不好，不但这部分知识不能掌握，而且更容易同前面的基础解法弄混淆，不少老师在涉及这部分知识时因其难度大往往是少讲或者不讲，留给部分学生去理解和探索。这样做对于学生在数学今后的成长很不利，因为这部分知识往往安排在七、八年级，这部分知识的深入理解和掌握对于学生以后的学习和思考方向来说可以起到方向性的作用，所以最好能采用适当的方法引导学生在这部分知识点上过关，促进学生养成一个积极探索的良好行为习惯。二、知识归类：先对“一元一次不等式和不等式组”解法综合题型进行归类，分为“有解或者无解”和“有几个整数解”两种情况，无论是不等式和不等式组的解法综合，都只有这两种情况，就像上面四道例题，其中（1）、（2）属于“有解或者无解”的类型，（3）、（4）属于“有几个整数解”的类型，学生遇到这类综合题时，自然将其归入相应类型，思想上不再发生混淆。三、方法整合与探索：A、类型一有解或者无解1、比如例一、如果不等式组有解，则m的取值范围是 _在学生计算了不等式后可以作如下引导： “一画”数轴，并且画出三条数轴，其中前面两条数轴定两个点，第三条数轴定一个点，（如图一）图一 “二取”解集：它们分别为无解，1.5xm，x=1.5或者x=m；“三蒙”不符合题意的数轴，此题为有解，就蒙无解的情况，如果是无解，就蒙有解的情况（如果是重合的情况必须两个都是实心才有解）,这道题已知有解，那么就蒙“无解”，即把第一种情况蒙住，看其它两种情况；“四看”数轴上m和1.5的位置，谁在右边，谁就大，如果是重合的，就还有等于的情况。这道题中因为m在1.5的右边，根据“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，所以m1.5，因为m还有和1.5重合的情况，所以m1.5。2、至于例二、不等式组 的解集是x3，那么a的取值范围_其实是例一的适当变式，方法大体相同，在学生计算后可以作如下引导：图二“一画”数轴，也是画三条数轴，前面两条数轴也是定两个点，第三条数轴定一个点；（如图二） “二取”解集：它们分别为x3,x2a+1，x2a+1；“三蒙”不符合题意的数轴，此题为x3，就蒙x3，解得a1。B、类型二有几个整数解1、例三、已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是 在学生解题后可以作如下引导：图三先“定位”,此题有五个整数解，就将a定位在第五个整数和第六个整数之间，从2开始（包括2）往左边数，第五个整数为-2，第六个整数为-3，所以首先就将a定位于“-3a-2”(如图三)；再“换”，将第一个不等式计算得到的“xa”中的“a”先换成“-3”，即“x-3”，然后在刚才的数轴上表示出来（如图四）,从数轴上明显的看出这时有六个整数解，而此题只有五个整数解，说明不能将“a”换成“-3”，所以“-3a-2”中“-3”与“a”之间只能是“”，而没有“=”；再将“xa”中的“a”换成“-2”，即“x-2”，同样在刚才的数轴上表示出来（如图五）,从数轴上明显的看出这时有五个整数解，符合题意，说明能将“a”换成“-2”，所以“-3a-2”中“a”与“-2”之间有“=”，即“a-2”,两种情况综合起来，则a的取值范围是“-3a-2”图四图五 2、例四、不等式2（x3）2a1的自然数解只有0、1、2三个，则a的取值范围是_同例三相比，例四只是一个不等式，但同样是已知此不等式有多少个自然数解的情况，所以按照解不等式的方法解出结果x后同样作如下引导：图六先“定位”,此题有3个自然数数解0、1、2，就将a定位在2和3之间，即“23”(如图六)；再“换”，将不等式计算得到的“x”中的“”先换成“3”，即“x3”，然后在刚才的数轴上表示出来（如图七）,从数轴上明显的看出这时有0、1、2、3四个自然数解，而此题只有三个整数解，说明不能将“”换成“3”，所以“23”中“”与“3”之间只能是“”，而没有“=”；再将“x”中的“”换成“2”，即“x2”，同样在刚才的数轴上表示出来（如图八）,从数轴上明显的看出这时有0、1、2三个自然数解，符合题意，说明能将“”换成“2”，所以“23”中“2”与“”之间有“=”，即“2”,两种情况综合起来，则a的取值范围是“23”,即“-1.5a-0.5”图七图八 4、 方法总结：1、 一元一次不等式组“有解无解”一般画出三条数轴，然后依次采取“一画”、“二取”、“三蒙”、“四看”四个步骤进行推导；2、 一元一次不等式及不等式组“有多少个整数解”一般只画一条数轴，然后才去“定位”和“换”两个步骤进行思考探索。5、 分析及反思： 不等式及不等式组的综合题对于思维还不是很成熟的多数初中学生来说，都具有相当大的难度，不但学生在学习这部分知识感到困难，甚至这部分内容的讲解对于很多老师来说都具有很大的挑战性。但如果我们能像上面分析的那样，从学生思维发展的角度出发，抓住学生解决这类问题的关键所在，抽丝剥茧,在层层引导中将数学课堂向纵深方向发展，同时激发学生学习数学的兴趣！6、 中考练习：1、（2014年山东泰安，第15题3分）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）Aa36Ba36Ca36Da362、(2015黑龙江绥化，第8题 分)关于x的不等式组 的解集为x1 ，则a的取值范围是（ ） A a1 B a1 C a1 D a13、(2014山东潍坊，第7题3分）若不等式组无解，则实数a的取值范围是( )Aa一1 Ba1 Ca1 D.a14、（2015湖南省永州市，7，3分）若不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（ ） A1m0 B1m0 C1m0 D1m05、(2016黑龙江龙东3分）不等式