【答案】清北学堂2014年暑假物理竞赛模拟试题二.pdf

清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题 清北学堂清北学堂 2014 暑假暑假物理竞赛模拟物理竞赛模拟试题 试题 二二 参考答案参考答案 一 15 分 一半径10Rcm 的水平圆盘以2 s 的角速度绕过圆心 O 的竖直轴 匀速转动 一小物块从离盘面高10hcm 处由静止开始自由下落 落到盘面上与盘面 发生碰撞 碰前后小物块竖直方向的速率大小不变 已知小物块与盘面之间的摩擦系数 0 1 为使小物块跳起后不会落到圆盘外 则它第一次下落点离轴的距离r应取何 值 解析 解析 1 小物块与盘面碰时的速度 0 2vgh 反弹后竖直方向 y方向 速度仍为 0 v 故此方向圆盘对它的竖直方向支持力 平均 的 冲量为 0 2 y IN tmv 在水平方向 x方向 摩擦力的冲量为 0 2 fy INtImv 根据动量定理可得反弹后小物块x方向的速度 x v 0 2 fx Imvmv 0 2 x vv 小物体跳起后又落下 所经时间为t 0 22 2 vh t gg 在此期小物块沿x方向的位移 2 0 28 x v xvth g 由图可知 只要满足下式关系 小物块就不会落到圆盘外 22 8xhlRr 北京清北学堂教育科技有限公司 第 1 页 清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题 22 8 6rRhcm 在求解过程中 我们是假设小物块与盘面碰撞的极短时间t 内两者间始终存在相对滑动 这就要求 x vr 由于 0 2222 0 120 2 2 x vvghm s 而20 060 12 rm s 可见 x vr 则以上计算有效 二 20 分 一环形圆管沿一直径截成两部分 一半竖立在铅垂面内 管口连线在一 水平面上 向管内装入与管壁相切的小滚珠 左 右侧第一个滚珠都与圆管截面相切 已知单个滚珠重 W 共有 2n 个 求从右边起第 k 个和第 k 1 个滚珠之间的压力 Nk 假设系统中处处无摩擦 解析 解析 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题 三 20 分 设想宇宙中有 1 个由质量分别为 m1 m2 mN的星体 1 2 N 构成 的孤立星团 各星体空间位置间距离均为 a 系统总质量为 M 由于万有引力的作用 N 个星体将同时由静止开始运动 试问经过多长时间各星体将会相遇 解析 解析 设系统的质心为 O 可先研究质量为 m1的质点 1 它将受到其它各质点的引力 12 3 21 21rr a mGm F 13 3131 3 Gm m Frr a 1 11 3 N NN Gm m Frr a 上列各式中 2 1 Niri 为各质点对质心 O 位置的矢径 则质点 1 所受合力为 1 21 2 2 1 1 3 1 1rmmmrmrmrm a Gm F N N N 由于 O 为质心 系统不受外力 故 01 1r m 则 有1 3 1 1 21 3 1 1 r a MGm rmmm a Gm F N 若 设 矢 量 1 r的 大 小 为 kar 1 那么质点 1 所受其它质点引力的合力大小为 2 1 3 1 3 1 1 r MkGm ka a MGm F 质点 1 所受各质点引力的合力等效于质量为Mk 3 的质点对它发生的引力 1 在这个平 方反比作用下 在以 O 为 1 个焦点 以 r 2 为长半轴 而短半轴为零的 椭圆轨道 运动 初 始位置为 远地点 经半个周期 到达 近地点 O 对于其它各质点 情况相同 故相遇时 所经历的时间为 GM a MGk ka T t 8 2 2 3 3 3 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题 四 如右图所示 立方体框架ABCDEFGH 它的 12 条边为 电导率均匀的导线 每边电阻均为 R 现在 AG 间接上一直流电 源 忽略所有接触电阻 试求 1 该电源的外电阻为多大 2 若电源在 G 点的接线沿一条边做微小移动 请问这一电阻是增大 还是减小 解析 解析 1 5 6 AG RR 2 如图所示 设 Gs GCx 可得 2 1 1045 12 AS RxxR 4 10 12 AS dRR x dx 当 2 0 5 x 由此可见 若电源在 G 点的接线沿一条边做微小移动 x 很小时 则电源外电阻将增大 若移到 2 5 x 则达最大 五 20 分 在图示电路中 电容器 I C II C III C的电容值都是 C 电源的电动势为 1 R 2 R 为电阻 K 为双掷开关 开始时 三个电容器都不带电 先接通 oa 再接通 ob 再接通 oa 再接通 ob 如此反复换向 设每次接通前都已达到静电平衡 试求 1 当 K 第 n 次接通 ob 并达到平衡后 每个电容器两端的电压各是多少 2 当反复换向的次数 n 为无限多次时 在所有电阻上消耗的总电能是多少 解析 解析 1 为了求每个电容器两端的电压 我们先来求每个电容器上的电荷量 原来 3 个电容 器都不带电 所以当第 1 次接通 oa 后电路为 I C和 II C串联 两者的电容又相等 所 以等效电容应为 2 C 由此可知 1 C的电荷量应为 2 1 C Q 1 北京清北学堂教育科技有限公司 第 5 页 清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题 下面来求第 n 次接通 oa 后 1 C上的电量 我们用 1 Q 2 Q 依次表示每次接通 oa 时 电 池在该次中对 1 C充电 增加 的电量 因 1 C和 II C串联 根据电荷守恒 每次充电时给 II C增 加的电量也应是 1 Q 2 Q oa 接通 n 次后 1 C上的电量应为 n QQQQ 21I 2 在第 n 次接通 oa 之前 即第 n 1 次接通 ob 之后 I C上的总电荷量为 121 n QQQ 根 据电荷守恒 此时 II C III C上的总电荷量应为 121 n QQQ 因为 II C III C并联 两 者的电容又相等 所以 II C III C上电荷量也相等 都是 2 121 n QQQ 由此可知 第 n 次接通 oa 后 II C上的电荷量应为 n n Q QQQ Q 2 121 II 3 所以 I C和 II C上的电压应为 C QQQ U n I 21 4 C Q QQQ U n n 2 121 II 5 由电压关系知 III UU 6 由 4 5 6 式可得 CQ QQQ QQQ n n n 2 121 21 7 同理 对 n 1 次接通 oa 后有 CQ QQQ QQQ n n n 1 21 121 2 8 用 8 式减去 7 式 得 4 1 n n Q Q 9 这就是说 后一次接通 oa 时 I C上充电增加的电荷量与前一次之比总是 个常数 4 1 可 北京清北学堂教育科技有限公司 第 6 页 清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题 见 每次充电 I C上增加的电荷量是按等比级数增长的 上式对 n 1 2 任何正整数都 成立 我们已知第 1 次接通 oa 后 I C上的电荷量为 1 式 由 1 和 6 式可知 第 n 次接通 oa 后 I C上的总电荷量为 CQ n 12 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 2 1 C n 12 4 1 4 1 1 2 1 由等比级数求和 可得 CQ n 4 1 1 3 2 I 10 第 n 次接通 oa 后 I C上的电量不变 仍为 10 式所示 II C III C上的电荷量 II Q III Q 相等 且皆为 I Q的一半 故 CQQ n 4 1 1 3 1 IIIII 11 所以三个电容器上的电压分别是为 n C Q U 4 1 1 3 2 I I n C Q UU 4 1 1 3 1 2 I IIIII 2 当 n 趋于无穷时 I C上的电量也就是通过电源的总电量 由 10 式可知所有电 源提供的能量为 W Q C 3 2 2 各电容器储存的能量分别为 C C Q W 9 22 1 2 I 2 北京清北学堂教育科技有限公司 第 7 页 清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题 C C Q WW 18 12 2 1 2 IIIII 2 根据以量守恒 可得电阻上消耗的电能为 WWR CWWW 3 1 IIIIII 2 六 20 分 如图所示 两个盛有空气额容器 A 和 B 中间用备有活塞的细管相连 容器A浸入到温度为 Ct100 1 的水槽中 容器B浸入温度为 Ct20 2 的冷却器中 开始时容器被活塞所分开 容器 A 中空气压强 mmHgP400 1 而容器 B 中空气的压强 mmHgP150 2 若 容 器 的 体 积 分 别 为 3 1 250cmV 3 2 400cmV 求活塞打开后稳 定的压强 PammHg322 1331 解析 解析 根据系统的质量不变求解 1 以 A B 容器中的空气系统为研究对象 设活塞打开前 A B 中的质量分别为 1 M和 2 M 由理想气体状态方程得 1 11 1 RT VP M 2 22 2 RT VP M 2 设活塞打开后稳定的压强为P A B 中的质量分别为 1 M 何 2 M 由理想气体状态方 程得 1 1 1 RT PV M 2 2 2 RT PV M 3 因系统不漏气 打开活塞前后系统的质量不变 即 1221 MMMM 北京清北学堂教育科技有限公司 第 8 页 清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题 将 式代入 式中有 PammHg TVTV TVPTVP P 4 2112 222111 10298224 七 20 分 图示 A 为折射率为玻璃棒的一端 B 为折 射率为的塑料平凸透镜 凸面的曲率半径为 R 厚度为 l A B 两端面平行且间距为 t 一点光源 S 位于 A 内 与端 面的距离为 d 与光轴的距离为 h 试求 1 点光源 S 发出的光经此光学系统后成平行光束 则 t 应 为多大 2 要获得平行光束则对 l 有何限制 3 平行光束与光轴的夹角 为多大 解析 解析 1 先经 A 端面折射成像 0 u1 d v1 d n1 再经塑料 B 平面折射成像 u2 t 0 v2 n2u2 d n2t 最后经球面折射成像 u3 l d n2 t l 1 V3 u3 R 2 由 1 2 式解得 t 2 t 0 即 l 3 O 点为球面的球心 S 为 S 经前两次折射所成的像点 d d n2t l R tan h d n2 1 h R 北京清北学堂教育科技有限公司 第 9 页 清北学堂 2014 暑假集中培训课程模拟试题 八 20 分 一个静止质量为 M 的物体静止在实验室中 裂变为静止质量为 1 m和 2 m的两部分 试求裂变产物的相对论动能 1K E 和 2K E 解析 解析 根据相对论能量守恒有 2 22 2 11 2 CmCmMC 化简得 22