2.5.1平面几何中的向量方法.ppt

平面几何中的向量方法 东风中学数学组 人教A版必修 问题提出 1 用有向线段表示向量 使得向量可以进行线性运算和数量积运算 并具有鲜明的几何背景 从而沟通了平面向量与平面几何的内在联系 在某种条件下 平面向量与平面几何可以相互转化 2 平行 垂直 夹角 距离 全等 相似等 是平面几何中常见的问题 而这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来 因此 有了运算 平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决 这节课将使我们体会到向量的力量是无限的 问题提出 平面几何中的向量方法 例题1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型 如图 你能发现平行四边行对角线的长度与邻边AB AD的长度之间的关系吗 问题探究 思考1 长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系 类比猜想 平行四边形有相似关系吗 结论 平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 思考2 在平行四边形中 还有哪些关于向量的结论呢 思考3 运用向量方法解决平面几何问题 可以分哪几个步骤 矩 矩 矩 菱 正方 用向量方法解决平面几何问题 三步曲 形到向量 向量运算 向量和数到形 例题 证明 直径所对的圆周角是直角 A B C O 已知 如图所示 已知 O AB为直径 C为 O上任意一点 求证 ACB 90 问题探究 猜想 AR RT TC 勾股定理的证明方法 勾股定理是初等几何中的一个基本定理 这个定理有十分悠久的历史 两千多年来 人们对勾股定理的证明颇感兴趣 因为这个定理太贴近人们的生活实际 以至于古往今来 下至平民百姓 上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明 一 传说中毕达哥拉斯的证法 图1 左边的正方形是由1个边长为a的正方形和1个边长为b的正方形以及4个直角边分别为a b 斜边为c的直角三角形拼成的 右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为a b 斜边为c的直角三角形拼成的 因为这两个正方形的面积相等 边长都是a b 所以可以列出等式 化简得 二 赵爽弦图的证法 图2 边长c为的正方形可以看作是由4个直角边分别为a b 斜边c为的直角三角形围在外面形成的 因为边长c为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积 所以可以列出等式 化简得 这种证明方法很简明 很直观 它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神 是我们中华民族的骄傲 三 美国第20任总统茄菲尔德的证法 图3 这个直角梯形是由2个直角边分别为a b 斜边为c的直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形拼成的 因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积 所以可以列出等式 化简得 这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式 从而使证明更加简洁 它在数学史上被传为佳话 在西方 人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的 但遗憾的是 他的证明方法已经失传 方法一是传说中的证明方法 这种证明方法简单 直观 易懂 为纪念二千五百年前一个学派和宗教团体 毕达哥拉斯学派成立以及它在文化上的贡献 1955年 希腊发行了一张邮票 图案由三个棋盘排列而成 勾股定理的由来 故禹之所以治天下者 此数之所由生也 周髀算经 这里 此数 指的是 勾三股四弦五 这句话的意思就是说 勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的 中国是才世界上最早发现勾股定理这一几何宝藏的国家 2 用向量方法研究几何问题 需要用向量的观点看问题 将几何问题化归为向量问题来解决 它既是一种数学思想 也是一种数学能力 其中合理设置向量 并建立向量关系 是解决问题的关键 课堂小结 A B C 课外探究 证明 三角形的三条高线交于一点 谢谢各位老师的倾听 ThankYou 思考1 三角形的三条高线具有什么位置关系 交于一点 证明PC AB 课外探究 思考4 对于PA BC PB AC 用向量观点可分别转化为什么结论 思考3 设向量 那么PC BA可转化为什么向量关系 思考5 如何利用这两个结论推出 一 向量有关知识复习 1 向量共线的条件 与共线 2 向量垂直的条件 3 两向量相等条件 且方向相同 4 平面向量基本定理 解 设则 由于与共线 故设 又因为共线 所以设 因为 所以 例题 探究 故AT RT TC 例题 探究