南京十年(2008-2017)中考数学压轴题集锦.pdf

南京十年中考数学压轴题集锦 2008 年压轴题 28 10 分 一列快车从甲地驶往乙地 一列慢车从乙地驶往甲地 两车同时出发 设慢车 行驶的时间为 两车之间的距离 为 图中的折线表示与之间的函数关系 根据图象进行以下探究 信息读取 1 甲 乙两地之间的距离为 km 2 请解释图中点的实际意义 图象理解 3 求慢车和快车的速度 4 求线段所表示的与之间的函数关系式 并写出自变量的取值范围 问题解决 5 若第二列快车也从甲地出发驶往乙地 速度与第一列快车相同 在第一列快车与慢车 相遇 30 分钟后 第二列快车与慢车相遇 求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时 h x km yyx B BCyxx 第 28 题 A B C D O y km 900 12 x h 4 28 本题 10 分 解析 解 1 900 1 分 2 图中点的实际意义是 当慢车行驶 4h 时 慢车和快车相遇 2 分 3 由图象可知 慢车 12h 行驶的路程为 900km 所以慢车的速度为 3 分 当慢车行驶 4h 时 慢车和快车相遇 两车行驶的路程之和为 900km 所以慢车和快车行驶 的速度之和为 所以快车的速度为 150km h 4 分 4 根据题意 快车行驶 900km 到达乙地 所以快车行驶到达乙地 此时两车 之间的距离为 所以点的坐标为 设线段所表示的与之间的函数关系式为 把 代入得 解得 所以 线段所表示的与之间的函数关系式为 6 分 自变量的取值范围是 7 分 5 慢车与第一列快车相遇 30 分钟后与第二列快车相遇 此时 慢车的行驶时间是 4 5h 把代入 得 此时 慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是 112 5km 所以两列快车出 发的间隔时间是 即第二列快车比第一列快车晚出发 0 75h 10 分 B 900 75 km h 12 900 225 km h 4 900 6 h 150 6 75450 km C 6 450 BCyxykxb 4 0 6 450 04 4506 kb kb 225 900 k b BCyx225900yx x46x 4 5x 225900yx 112 5y 112 5 1500 75 h 2009 年压轴题 28 本题满分 12 分 如图 已知射线DE与轴和轴分别交于点和点 动 点从点出发 以 1 个单位长度 秒的速度沿轴向左作匀速运动 与此同时 动 点P从点D出发 也以 1 个单位长度 秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动 设运动时间 为 秒 1 请用含 的代数式分别表示出点C与点P的坐标 2 以点C为圆心 个单位长度为半径的与轴交于A B两点 点A在点B的 左侧 连接PA PB 当与射线DE有公共点时 求 的取值范围 当为等腰三角形时 求 的值 xy 3 0 D 0 4 E C 5 0 M x t t 1 2 tC x C t PAB t O x y E P D A B M C 28 解析 解 1 2 分 2 当的圆心由点向左运动 使点到点并随继续向左运动时 有 即 当点在点左侧时 过点作射线 垂足为 则由 得 则 解得 由 即 解得 当与射线有公共点时 的取值范围为 5 分 当时 过作轴 垂足为 有 即 解得 7 分 当时 有 解得 9 分 当时 有 即 解得 不合题意 舍去 11 分 50 Ct 34 3 55 Ptt C C 5 0M ADC 3 53 2 t 4 3 t CDCCF DEFCDFEDO CDFEDO 3 5 45 CFt 48 5 t CF 1 2 CF t 481 52 t t 16 3 t C DEt 416 33 t PAAB PPQx Q 222 PAPQAQ 2 2 1633 53 2525 ttt 22 2918 4 205 ttt 2 972800tt 12 420 33 tt PAPB PCAB 3 53 5 tt 3 5t PBAB 2 2222 1613 53 2525 PBPQBQttt 22 132 4 205 ttt 2 78800tt 45 20 4 7 tt O x y E P C D B Q A M F 当是等腰三角形时 或 或 或 12 分 PAB 4 3 t 4t 5t 20 3 t 2010 年南京中考压轴题 28 如图 正方形 ABCD 的边长是 2 M 是 AD 的中点 点 E 从点 A 出发 沿 AB 运动到点 B 停止 连接 EM 并延长交射线 CD 于点 F 过 M 作 EF 的垂线交射线 BC 于点 G 连接 EG FG 1 设 AE x 时 EGF 的面积为 y 求 y 关于 x 的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范 围 2 P 是 MG 的中点 请直接写出点 P 的运动路线的长 28 题解析 考点 正方形的性质 根据实际问题列二次函数关系式 全等三角形的判定与性质 相似三 角形的判定与性质 专题 压轴题 分析 1 E A 重合时 三角形 EFG 的底和高都等于正方形的边长 由此可得到其面积 E A 不重合时 易证得 AEM DFM 则 EM FM 由勾股定理易求得 EM 的长 即可 得出 EF 的长 下面求 MG 的长 过 M 作 MN BC 于 N 则 AB MN 2AM 由于 AME 和 NMC同为 EMN的余角 由此可证得 AEM NCM 根据相似三角形得到的关于AM MN EM MC 的比例关系式 即可求得 MC 的表达式 进而可由三角形的面积公式求出 y x 的函数关系式 2 可分别作出 E A 重合与 E B 重合时 P 点的位置 此时可发现 PP 正好是 EGG 的中 位线 则 P 点运动的距离为 GG 的一半 Rt BMG 中 MG BG 易证得 MBG GMG 根据 MBG 的正切值即可得到 GG GM 即正方形的边长 的比例关系 由此得解 解答 解 1 当点 E 与点 A 重合时 x 0 y 1 2 2 2 2 当点 E 与点 A 不重合时 0 x 2 在正方形 ABCD 中 A ADC 90 MDF 90 A MDF AM DM AME DMF AME DMF ME MF 在 Rt AME 中 AE x AM 1 ME 2 1 EF 2ME 2 2 1 过 M 作 MN BC 垂足为 N 如图 则 MNG 90 AMN 90 MN AB AD 2AM AME EMN 90 EMG 90 GMN EMN 90 AME GMN Rt AME Rt NMG 即 1 2 MG 2ME 2 2 1 y 1 2EF MG 1 2 2 2 1 2 2 1 2x2 2 y 2x 2 2 其中 0 x 2 6 分 2 如图 PP 即为 P 点运动的距离 在 Rt BMG 中 MG BG MBG G MG 90 BMG tan MBG tan GMG 2 GG 2MG 4 MGG 中 P P 分别是 MG MG 的中点 PP 是 MGG 的中位线 PP 1 2GG 2 即 点 P 运动路线的长为 2 8 分 点评 此题考查了正方形的性质 等腰三角形 相似三角形 全等三角形的判定和性质以及 二次函数等知识 综合性强 难度较大 2011 年南京中考压轴题 28 问题情境 已知矩形的面积为 a a 为常数 a 0 当该矩形的长为多少时 它的周长最小 最小值是 多少 数学模型 设该矩形的长为 x 周长为 y 则 y 与 x 的函数关系式为 的探索研究 1 我们可以借鉴以前研究函数的经验 先探索函数 图象和性质 填写下表 画出函数的图象 x 1 2 3 4 y 观察图象 写出该函数两条不同类型 的性质 在求二次函数 y ax 2 bx c a 0 的最大 小 值时 除了通过观察图象 还可以通过 配方得到 请你通过配方求函数的最小值 解决问题 2 用上述方法解决 问题情境 中的问题 直接写出答案 2 0 a yxx x 1 0 yxx x 1 4 1 3 1 2 1 0 yxx x 1 x y O 1 3 4 5 2 2 3 5 4 第 28 题图 1 1 28 题解析 答案 1 2 图形和性质见解析过程 函数 的最小值是 2 2 当该矩形的长为时 它的周长最小 最小值为 解析过程 2 函数的图象如图 答 函数两条不同类型的性质是 当 0 x 1 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 1 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 1 时 函数的最小值是 2 当 0 即时 函数的最小值为 2 当该矩形的长为时 它的周长最小 最小值为 知识点 描点法画函数图象 分析函数图象 用配方法求最值 17 4 10 3 5 2 5 2 10 3 17 4 1 yx x 0 x a4 a 17 4 10 3 5 2 5 2 10 3 17 4 1 yx x 0 x 1 yx x 0 x 2 111 2 2 2 x x x x x xy 1 x x 1x 1 yx x 0 x a4 a 第 28 题答案图 2012 年南京中考数学压轴题 27 2012 南京 如图 A B 是 O 上的两个定点 P 是 O 上的动点 P 不与 A B 重 合 我们称 APB 是 O 上关于点 A B 的滑动角 1 已知 APB 是 O 上关于点 A B 的滑动角 若 AB 是 O 的直径 则 APB 90 若 O 的半径是 1 AB 求 APB 的度数 2 已知 O2是 O1外一点 以 O2为圆心作一个圆与 O1相交于 A B 两点 APB 是 O1上关于点 A B 的滑动角 直线 PA PB 分别交 O2于 M N 点 M 与点 A 点 N 与点 B 均不重合 连接 AN 试探索 APB 与 MAN ANB 之间的数量关系 27 题解析 考点 勾股定理 垂径定理 圆周角定理 点与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 专题 几何综合题 分析 1 根据直径所对的圆周角等于 90 即可求解 根据勾股定理的逆定理可得 AOB 90 再分点 P 在优弧上 点 P 在劣弧 上两种情况讨论求解 2 根据点 P 在 O1上的位置分为四种情况得到 APB 与 MAN ANB 之间的 数量关系 解答 解 1 若 AB 是 O 的直径 则 APB 90 如图 连接 AB OA OB 在 AOB 中 OA OB 1 AB OA2 OB2 AB2 AOB 90 当点 P 在优弧上时 AP1B AOB 45 当点 P 在劣弧上时 AP2B 360 AOB 135 6 分 2 根据点 P 在 O1上的位置分为以下四种情况 第一种情况 点 P 在 O2 外 且点 A 在点 P 与点 M 之间 点 B 在点 P 与点 N 之 间 如图 MAN APB ANB APB MAN ANB 第二种情况 点 P 在 O2外 且点 A 在点 P 与点 M 之间 点 N 在点 P 与点 B 之 间 如图 MAN APB ANP APB 180 ANB APB MAN ANB 180 第三种情况 点 P 在 O2外 且点 M 在点 P 与点 A 之间 点 B 在点 P 与点 N 之 间 如图 APB ANB MAN 180 APB 180 MAN ANB 第四种情况 点 P 在 O2内 如图 APB MAN ANB 点评 综合考查了圆周角定理 勾股定理的逆定理 点与圆的位置关系 本题难度较大 注意分类思想的运用 2013 年南京中考数学压轴题 27 10 分 2013 南京 对于两个相似三角形 如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相 同 那么称这两个三角形互为顺相似 如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反 那么称 这两个三角形互为逆相似 例如 如图 ABC A B C 且沿周界 ABCA 与 A B C A 环绕的方向相同 因此 ACB 和 A B C 互为顺相似 如图 ABC A B C 且沿周 界 ABCA 与 A B C A 环绕的方向相反 因此 ACB 和 A B C 互为逆相似 1 根据图 图 和图 满足的条件 可得下列三对相似三角形 ADE 与 ABC GHO 与 KFO NQP 与 NMQ 其中 互为顺相似的是 互为 逆相似的是 填写所有符合要求的序号 2 如图 在锐角 ABC 中 A B C 点 P 在 ABC 的边上 不与点 A B C 重合 过点 P 画直线截 ABC 使截得的一个三角形与 ABC 互为逆相似 请根据点 P 的 不同位置 探索过点 P 的截线的情形 画出图形并说明截线满足的条件 不必说明理由 27 题解析 考 点 相似形综合题 430103 专 题 压轴题 分 析 1 根据互为顺相似和互为逆相似的定义即可作出判断 2 根据点 P 在 ABC 边上的位置分为三种情况 需要分类讨论 逐一分析求解 解 答 解 1 互为顺相似的是 互为逆相似的是 2 根据点 P 在 ABC 边上的位置分为以下三种情况 第一种情况 如图 点 P 在 BC 不含点 B C 上 过点 P 只能画出 2 条截线 PQ1 PQ2 分别使 CPQ1 A BPQ2 A 此时 PQ1C PBQ2都与 ABC 互为逆 相似 第二种情况 如图 点 P 在 AC 不含点 A C 上 过点 B 作 CBM A BM 交 AC 于点 M 当点 P 在 AM 不含点 M 上时 过点 P1只能画出 1 条截线 P1Q 使 AP1Q ABC 此时 AP1Q 与 ABC 互为逆相似 当点 P 在 CM 上时 过点 P2只能画出 2 条截线 P2Q1 P2Q2 分别使 AP2Q1 ABC CP2Q2 ABC 此时 AP2Q1 Q2P2C 都与 ABC 互为逆相似 第三种情况 如图 点 P 在 AB 不含点 A B 上 过点 C 作 BCD A ACE B CD CE 分别交 AC 于点 D E 当点 P 在 AD 不含点 D 上时 过点 P 只能画出 1 条截线 P1Q 使 AP1Q ABC 此时 AQP1与 ABC 互为逆相似 当点 P 在 DE 上时 过点 P2只能画出 2 条截线 P2Q1 P2Q2 分别使 AP2Q1 ACB BP2Q2 BCA 此时 AQ1P2 Q2BP2 都与 ABC 互为逆相似 当点 P 在 BE 不含点 E 上时 过点 P3只能画出 1 条截线 P3Q 使 BP3Q BCA 此时 Q BP3与 ABC 互为逆相似 点 评 本题是创新型中考压轴题 主要考查了相似三角形的知识点 分类讨论的数学思想以 及接受与理解新生事物的能力 准确理解题设条件中 顺相似 逆相似 的定义是正确解 题的先决条件 在分析与解决问题的过程中 要考虑全面 进行分类讨论 避免漏 解 2014 年南京中考数学压轴题 27 2014 年江苏南京 问题提出 学习了三角形全等的判定方法 即 SAS ASA AAS SSS 和直角三角形全等的 判定方法 即 HL 后 我们继续对 两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等 的 情形进行研究 初步思考 我们不妨将问题用符号语言表示为 在 ABC 和 DEF 中 AC DF BC EF B E 然 后 对 B 进行分类 可分为 B 是直角 钝角 锐角 三种情况进行探究 深入探究 第一种情况 当 B 是直角时 ABC DEF 1 如图 在 ABC 和 DEF AC DF BC EF B E 90 根据 HL 可以知 道 Rt ABC Rt DEF 第二种情况 当 B 是钝角时 ABC DEF 2 如图 在 ABC 和 DEF AC DF BC EF B E 且 B E 都是钝角 求 证 ABC DEF 第三种情况 当 B 是锐角时 ABC 和 DEF 不一定全等 3 在 ABC 和 DEF AC DF BC EF B E 且 B E 都是锐角 请你用尺规在 图 中作出 DEF 使 DEF 和 ABC 不全等 不写作法 保留作图痕迹 4 B 还要满足什么条件 就可以使 ABC DEF 请直接写出结论 在 ABC 和 DEF 中 AC DF BC EF B E 且 B E 都是锐角 若 B A 则 ABC DEF 27 题解析 分析 1 根据直角三角形全等的方法 HL 证明 2 过点 C 作 CG AB 交 AB 的延长线于 G 过点 F 作 DH DE 交 DE 的延长线于 H 根 据等角的补角相等求出 CBG FEH 再利用 角角边 证明 CBG 和 FEH 全等 根据全 等三角形对应边相等可得 CG FH 再利用 HL 证明 Rt ACG 和 Rt DFH 全等 根据全等 三角形对应角相等可得 A D 然后利用 角角边 证明 ABC 和 DEF 全等 3 以点 C 为圆心 以 AC 长为半径画弧 与 AB 相交于点 D E 与 B 重合 F 与 C 重 合 得到 DEF 与 ABC 不全等 4 根据三种情况结论 B 不小于 A 即可 1 解 HL 2 证明 如图 过点 C 作 CG AB 交 AB 的延长线于 G 过点 F 作 DH DE 交 DE 的延 长线于 H B E 且 B E 都是钝角 180 B 180 E 即 CBG FEH 在 CBG 和 FEH 中 CBG FEH AAS CG FH 在 Rt ACG 和 Rt DFH 中 Rt ACG Rt DFH HL A D 在 ABC 和 DEF 中 ABC DEF AAS 3 解 如图 DEF 和 ABC 不全等 4 解 若 B A 则 ABC DEF 故答案为 1 HL 4 B A 点评 本题考查了全等三角形的判定与性质 应用与设计作图 熟练掌握三角形全等的判 定方法是解题的关键 阅读量较大 审题要认真仔细 2015 年南京中考数学压轴题 27 10 分 2015 南京 某企业生产并销售某种产品 假设销售量与产量相等 如图中 的折线 ABD 线段 CD 分别表示该产品每千克生产成本 y1 单位 元 销售价 y2 单 位 元 与产量 x 单位 kg 之间的函数关系 1 请解释图中点 D 的横坐标 纵坐标的实际意义 2 求线段 AB 所表示的 y1与 x 之间的函数表达式 3 当该产品产量为多少时 获得的利润最大 最大利润是多少 27 题解析 考点 二次函数的应用 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 1 点 D 的横坐标 纵坐标的实际意义 当产量为 130kg 时 该产品每千克生产 成本与销售价相等 都为 42 元 2 根据线段 AB 经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可 3 利用总利润 单位利润 产量列出有关 x 的二次函数 求得最值即可 解答 解 1 点 D 的横坐标 纵坐标的实际意义 当产量为 130kg 时 该产品每千克 生产成本与销售价相等 都为 42 元 2 设线段 AB 所表示的 y1与 x 之间的函数关系式为 y k1x b1 y k1x b1的图象过点 0 60 与 90 42 这个一次函数的表达式为 y 0 2x 60 0 x 90 3 设 y2与 x 之间的函数关系式为 y k2x b2 经过点 0 120 与 130 42 解得 这个一次函数的表达式为 y2 0 6x 120 0 x 130 设产量为 xkg 时 获得的利润为 W 元 当 0 x 90 时 W x 0 6x 120 0 2x 60 0 4 x 75 2 2250 当 x 75 时 W 的值最大 最大值为 2250 当 90 x 130 时 W x 0 6x 120 42 0 6 x 65 2 2535 由 0 6 0 知 当 x 65 时 W 随 x 的增大而减小 90 x 130 时 W 2160 当 x 90 时 W 0 6 90 65 2 2535 2160 因此当该产品产量为 75kg 时 获得的利润最大 最大值为 2250 点评 本题考查了二次函数的应用 解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型 难度不大 2016 年南京中考数学压轴题 27 如图 把函数 y x 的图像上各点的纵坐标变为原来的 2 倍 横坐标不变 得 到函数 y 2x 的图像 也可以把函数 y x 的图像上各点的横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 得到函数 y 2x 的图像 类似地 我们可以认识其他函数 1 把函数的图像上各点的纵坐标变为原来的 倍 横坐标不变 得到函 数的图像 也可以把函数的图像上各点的横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 得到函数的图像 2 已知下列变化 向下平移 2 个单位长度 向右平移 1 个单位长度 向 右平移 个单位长度 纵坐标变为原来的 4 倍 横坐标不变 横坐标变为原 来的 倍 纵坐标不变 横坐标变为原来的 2 倍 纵坐标不变 i 函数的图像上所有的点经过 得到函数 的图像 ii 为了得到函数的图像 可以把函数的图像上所有 的点 A B C D 3 函数的图像可以经过怎样的变化得到函数的图像 写出 一种即可 27 题解析 考点 考查学生阅读能力 应用知识解决问题的能力 解析 解 1 6 6 4 分 2 y 4 x 1 2 2 D 8 分 3 本题答案不惟一 下列解法供参考 例如 先把函数y 的图像上所有的点向左平移2 个单位长度 得到函数的图 像 再把函数的图像上所有的点的纵坐标变为原来的倍 横坐标不变 得到函数的图像 最后把函数的图像上所有的点向下平移1 个单位长度 得到函数的图像 11 分 1 x 3 2 2017 年南京中考数学压轴题 27 折纸的思考 操作体验 用一张矩形纸片折等边三角形 第一步 对折矩形纸片 图 使与重合 得到折痕 把 纸片展平 图 第二步 如图 再一次折叠纸片 使点落在上的处 并使折痕经过点 得到折 痕 折出 得到 2 1 c n j y 1 说明是等边三角形 数学思考 2 如图 小明画出了图 的矩形和等边三角形 他发现 在矩形中 把经过图形变化 可以得到图 中的更大的等边三角形 请描述图形变化的过程 3 已知矩形一边长为 3 另一边长为 对于每一个确定的的值 在矩形中都能 画出最大的等边三角形 请画出不同情形的示意图 并写出对应的的取值范围 问题解决 ABCD ABBC ABDCEF CEFPB BG PB PCPBCD PBCD ABCDPBCABCD PBCD cmacma a 4 用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为 4和 1的直角三角形铁片 所需正方 形铁片的边长的最小值为 cmcm cm 27 题解析 答案 1 是等边三角形 2 答案见解析 3 4 试题解析 1 由折叠 因此 是等边三角形 2 本题答案不惟一 下列解法供参考 例如 如图 以点为中心 在矩形中把逆时针方向旋转适当的角度 得到 再以点为位似中心 将放大 使点的对应点落在上 得到 3 本题答案不惟一 下列解法供参考 例如 PBCD 3 3 0 2 a 3 3 2 2 3a 2 3a 16 5 PBPC BPBC PBCD BABCDPBCD 11 PBCD B 11 PBCD 1 C 2 CCD 22 P BCD 4 考点 1 规律探索 2 矩形的性质 3 正方形的性质 4 等边三角形 3 3 0 2 a 3 3 2 2 3a 2 3a 16 5 2018 年南京中考数学压轴题 27 9 分 2018 南京 结果如此巧合 下面是小颖对一道题目的解答 题目 如图 Rt ABC 的内切圆与斜边 AB 相切于点 D AD 3 BD 4 求 ABC 的面积 解 设 ABC 的内切圆分别与 AC BC 相切于点 E F CE 的长为 x 根据切线长定理 得 AE AD 3 BF BD 4 CF CE x 根据勾股定理 得 x 3 2 x 4 2 3 4 2 整理 得 x 2 7x 12 所以 S ABC 4 5AC BC 4 5 x 3 x 4 4 5 x 2 7x 12 4 5 12 12 12 小颖发现 12 恰好就是 3 4 即 ABC 的面