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第七章 数学差异教学论教学目标 理解差异教学的内涵；了解数学差异教学策略；培养师范生数学差异教学能力。学时 2-4教学方法 课堂讲解；自主学习重点、难点 差异教学的实质及教学价值教学过程学校教育是一种群体教育，数学学习表现存在着的学生差异是数学教育中的普遍现象。深入剖析各种差异、研究其成因和相应的教学对策，构成了数学教学差异理论的主要内容。这是实现从“为少数人的数学”到“为所有人的数学”这一“大众数学”教育目标的一项必不可缺的基础工作。第一节 差异教学概述（一）核心概念及主要观点1.“差异”一词，是指形式或内容上的不同，与差别、有区别同意。个体差异性实际上就是个体在生活社会中表现出来的不同的个性品质，它表明每一个个体都是具有独自内心精神世界的鲜活、生动、特殊和具体的生命个体，是一个不可重复的、不可再造的价值主体。“学生差异教育观”是针对学生差异重要性进行认知、评价、处理的观念，认为差异是学校教育中的“重要资源”、“天然财富”、“教室环境的生态土壤”，是构成班级集体教学的活跃因素。个体差异的产生，是个十分复杂的问题，其形式也表现在各个不同方面，如性别、社会经济地位、文化背景等，与教育教学联系更为密切的认知方面的差异，有思维特征、认知风格和智力水平；非认知方面的差异包括兴趣、情感、意志、态度等。不同个体由于其遗传素质和所受环境影响的不同，在个性方面也表现出两种差异，一是非稳定性的个性差异，具体包括需要、兴趣、动机等差异；二是稳定性的个性差异，具体包括气质、性格等的差异。学生个体差异，一般可从两个方面理解：个体内的差异和个体间的差异。个体内的差异，是指个体系统内各因素不同发展水平上的差异，如一个人所具有的各种能力、兴趣等不平衡；个体间的差异，是指人与人之间的差异。随着学生升入高年级，其数学学习差异日益明显、分化仍在不断地在扩大，因此需要各种教育的广泛支持，特别是数学课堂教学策略应卓有成效。 2.“学生差异”这个概念，不同的人会有不同的理解，而不同的理解则会引申出不同的处理方法；相同的是，每个人对这个问题都非常关心。人本生而各异，在多元社会里，需要不同能力、不同性格以及不同喜好的人，在社会上扮演不同的角色，各展所长，世界因此而缤纷多彩。学生的个体差异有四个特性。一是客观性（无所不在），即学生在学习速度、认知方式、学习风格上存在差异，同样的内容，有的学生学的快，有的学生学的慢。二是多元性（丰富多彩），多元智力理论认为每个人都具有多种智力，但不同的人在各种智力方面所拥有的量是不同的，由于受遗传、环境以及所属文化的制约，不同的人在这些智力的组合与操作上各有特色，在具体教育情境中就表现为不同的学生具有不同的认知方式和风格。每个个体不可能拥有完全相同的智能，个体间智力的差异在于智能的不同组合，单个个体有很高的某种智能，却不一定有同样程度的其他智能。这种内隐的智能差异的外显化就是学生的个体差异性，只有当这种差异性被考虑到时，教学才是有效的。不同的学生表现出不同的多元化的智能倾向，教育的起点不在于一个人有多么聪明，而在于怎样使学生变得聪明，哪些方面变得聪明。三是发展动态性（非一成不变），学生还处在身体、知识的成长时期，差异变化是绝对的，不变则是相对的。四是学生差异还具有非集中性（阶段性、非全差）。学生差异往往是潜能开发程度不同表现出的差异。从这个意义上说，教育应该考虑、尊重不同学生之间的差异，让每个学生都能以自己的认知方式与学习风格学习，保持他们对学习的兴趣与信心，并使他们得到最大限度的发展。因此，我们一方面承认差异存在，另一方面更要重视潜能的开发，反对那种以照顾学生差异为理由，忽视潜能开发的做法。3.差异教学是指“在班集体教学中，立足学生的个性差异，满足不同学生的学习需要，促进每个学生最大限度发展的教学”1。4.差异教学的主要观点：在班集体教学中，不仅要关注学生的共性而且要关注学生的个体差异，并且在教学中将共性和个性辩证地统一起来；我们不仅要关注学生个体间差异还要关注学生个体内的差异，从而促进学生优势潜能的开发；差异教学强调满足不同学生的学习需要，但不是消极适应，而是从个体的情况出发，引导学生学会学习，从而促进他们发展；为了满足学生的不同需要，教师首先要转变观念，教学中给每个学生平等的学习机会，将学生的差异作为资源来开发，全方位的构建面向全体、照顾差异的教学策略方法体系。差异教学追求每个学生最大限度的发展，但就班集体来说，学生必然是有差异的发展。从差异教学实施的角度，差异教学强调：了解和测量学生的差异是差异教学的前提；学生的差异是多方面的，且是动态发展的，从教学的角度更关注学生智能的差异、学习动机、兴趣的差异，学习风格、方式的差异以及认知准备的差异等。教学目标既照顾差异但又应该对每个学生都具有挑战性；课程多样且可选择，利用选修课程、模块课程、课程资源中心等形态满足学生不同的需要；学生可以有自己的学习方式，教师要适应学生不同需要，但又要促进学生的学习方式向优势方向转化；教学中既根据学生的差异设计一些动态的分层分类的学习活动，又要组织好合作学习，将“同质分层”和“异质合作”相结合；倡导以小班为基础，大班、小班、小组、个别教学有机结合的教学形式；针对我国目前班额较大情况，为了在班集体教学中有效照顾差异，应重视课前的准备、铺垫和课后必要的辅导训练；不只关注学生知识技能差异，也要关注情感、态度、价值观差异及学习过程、能力、方法的差异，提高学生积极的学习情感，提高学习能力，促进学生的全面发展；差异教学倡导多元发展性评价，在考虑到一些共同的基本标准同时，应针对学生差异有些弹性；学生表达成果方式可以多样化，鼓励学生标新立异；在使用标准参照评价和常模参照评价的同时，也应重视本位参照评价，等等。（二）“差异教学”和相关概念的辨析差异教学继承了因材施教的思想，但着眼于继承基础上的发展，对分层教学、个别化教学等既有所借鉴，但也有所扬弃，更有自己新的东西，如，在我国广泛推广的“分层教学”（以及由此衍生的“分流教学”、“按成绩分组”、“按程度分级”以及“区分课程”等形式）在克服班集体教学的一刀切模式、照顾差异这方面的确起了积极作用，但分层教学尤其是校际、班际的分层客观上形成“标签效应”，伤害了一些后进（“能力较弱的”）学生，造成教育的不公平。另外分层教学主要是从认知的角度对学生进行分层，而学生的差异是多方面的，如情感态度的差异、学习方式、学习风格的差异，用分层教学则难以解释，因为有的差异并不是层次问题。分层教学主要是针对课堂的教学方法策略，而要有效照顾学生差异，仅靠课堂教学也是不够的。从照顾差异角度说，差异教学比分层教学涵盖更广，而且基本上形成了方法策略体系，虽然其中也有分层分类的策略，但只是方法策略之一，且对分层策略有所改进，倡导动态分层、隐性分层，以减少“标签效应”。个别化教学是西方学者为了克服班集体教学弊端提出的，个别化教学是和西方追求个人至上，倡导个性教育一脉相承的。虽然个别化教学不拘泥于一对一的个别教学，但个别化教学强调每个人学习的目标、内容和速度等都可以不一样，个别化教学强调要为每个学生制订个别化教育方案。个别问题反映在群体中就是差异，用“差异教学”的提法，并不是为了标新立异，而是表明我们的立足点在群体，我们既考虑学生个体差异但也不忽视学生的共性，差异教学认为学生的个性发展也离不开集体活动，我们既要发展学生健康个性，也要培养学生的集体主义精神。面对我国大班的现状，我们认为为每个学生制订个别化教学方案是不现实的，即使制订了，也很难将每个学生的个别化教学方案和班集体教学对接。差异教学中倡导并列式教学计划、插入式教学计划，强调共性与个性的统一，对个别学生的个别特殊学习需要，才针对性地制订个别化教学方案。为此展开的研究很多，本章将对数学教学中如何面对困难学生、优等生和性别差异等问题作些讨论。第二节 对数学后进生的教学现代教育是以发展提高学生素质为主的教育，强调在教学过程中让每个学生都得到发展。但是，受家庭、社会环境、遗传、教师的教学和学生已有的学习方式等许多因素的影响，教学过程中必然有一部分数学“后进生”出现。因此，研究数学后进生的认知特点及其合适的教学方法，已经成为世界各国教育界共同关心的课题，也是我国实行新课程需要深入研究的一个核心问题。一、数学后进生关于数学后进生存在下列几个基本看法：(1)对数学学习绝对无能的后进生是不存在的。正如前苏联教育心理学家克鲁捷茨基指出的，“在恰当的教学下，每个正常的心理健康的学生是能够或多或少地顺利掌握中小学数学课程的，是能够获得中学课程范围内的知识和技能的”。(2)数学后进生是相对的。如克鲁捷茨基在学生数学能力比较研究中所描述的那样，有些学生相对于有较强能力和能力中等的学生而言，他们“学习数学显得困难重重”，是“理解教师讲解有困难(常常需要补课)”和“题目超出他们所掌握的标准形式的范围就不会解”的学生，他们的“数学习惯难以养成，需要经过大量的练习，即使形成了也不稳定，不加练习就容易丧失”。(3)数学后进生是达到中学教学课程标准的合格要求还存在一定程度困难的学生；这在我国中学数学教育界得到较为普遍的认可。上述看法中，看法(1)和(3)以课程合格为标准的，界限清楚，便于确认。看法(2)则是从学生的外在的学习表现上来加以描述的，并且突出了“后进”的相对性。这几种看法的相互借鉴，有利于我们对数学后进生形成比较全面的认识，而看法(1)中的“无绝对数学后进生”的认识，则使我们帮助后进生在数学学习中得到发展提高的努力成为一项有意义的工作。山东省泰安师专的“初中数学差生转化”教育实验对于数学后进生的界定和分类进行了研究。(1)数学后进生的界定。实验利用层次分析法、相关分析法等，从数学成绩、智力水平和非智力水平三个方面考虑，借助数学后进生的相对观念，以量化方式按以下几步界定数学后进生：A、计算数学成绩其中为人学考试成绩或平时成绩(标准分，下同)；为实验测试成绩，为期中考试成绩；为期末考试成绩。B、计算智力测试成绩其中S为智商测试成绩，T为瑞文推理能力成绩(换算成标准分，下同)；N为数学能力测试成绩。C 、计算非智力测试成绩其中和分别为情绪稳定性，童志品质，数学学习兴趣和学习态度的测试分数。在B与C中，成绩或分数S、T、均依据相应量表测得，N用统一的数学能力测试题测得。D计算全班学生的效标分数将全班学生的效标分数从高到低排序，从后面取出25的学生，除去弱智和智力有疾患的学生，即为实验的数学后进生备选人，再经过一个学期的观察印证，确定出实验的数学后进生。实验表明，上述方法确定的数学后进生备选人与实际观察有较高的相符率。因此，认为该方法可以作为数学后进生的一种界定法。(2)数学后进生的分类。对于界定出的数学后进生进行科学的分类，是有的放矢地选择转化策略的关键。该课题组的同志以内外因关系为依据，在心理测试的基础上，构建了数学后进生分类子系统，如图41。二、数学后进生的认知特点对于数学后进生的教学研究中最为基础的课题是关于数学后进生认知特点的研究。这对于数学教师采用合理的教学对策或方法来帮助他们取得进步无疑是首要的一步。在众多的研究中，迄今为止较为深入、系统的要数前苏联教育科学院数学能力研究所所长克鲁捷茨基的研究。数学后进生，除了学习数学的兴趣、动机、态度等非认知因素外，与中等生、优等生最根本的差异在于他们的认知方式的不合理，与数学学科所需要的认知方式差距过大，这种差距，是他们在数学智力活动中表现迟钝的基本原因。以数学学习中的信息获取、加工和保持这几个子过程来分类研究，克鲁捷茨基得出的研究结果可以描述成：(1)在知觉数学材料、获取信息过程中，他们缺少一种“从具体材料中摆脱出来，鉴别出一般”、“掌握数学对象的形式结构”的能力。具体地表现为下列特点：离散性：他们分散地知觉材料中的各个数学元素，孤立地看待每一个数学元素，似乎与别的数学元素没有联系。尽可能领悟材料中各元素之间的联结或联系，即使得到外界的帮助，也会遇到很大的困难。具体性；他们停留在材料中具体数学信息(如数据等)的知觉上，难以从具体内容中摆脱(或抽象)出来，达到真正数学意义上的概括性认识。同等性：他们同等地知觉着材料中的各个数学元素，而不能评价它们并建立不同的层次，从而难以区分其中带有本质特征的那些数学元素。分析的差异辨别性：他们在知觉材料、获取信息的过程中，虽然也存在着分析，但是这种分析只是用于辨认和区分材料之间的不同之处，仅此而已，而不能成为后继数学思维活动开展的基础。例如，他们在认识和，对的分析只是与作出区分，而不能藉此作为确定算法的基础。即这种分析只是外表形式上的，而不是数学意义上的。上述这些知觉特点，便他们主动地从材料中最大限度地获取数学意义上“有用的信息”的能力明显低于优等生和中等生，这为后继数学思维活动的顺利展开带来了很大的困难。(2)在数学活动过程中的信息处理上，表现出下列特点：概括数学材料的能力偏低他们从“特殊的和具体的事物中，发现某些一般的可以纳入他们已经知道的的东西(概念、法则、公式等)和从孤立的和特殊的事物中看到某些一般的、尚未为他们知道的东西(从一些特例推出一般，并形成一个概东念)”的能力明显偏低，即使在外界的帮助下，做了一些中介的、同一类型的练习之后，也常常不能按照本质特征概括数学材料。尝试活动的盲目性。对数学问题的解决常常不是立即想出来的，需要在解答过程中作各种尝试。但是，他们在尝试中对于“尝试什么?为什么要尝试这些方面?怎样去尝试?”常常在思想上是不明确的，是以“没有目标的运算及胡乱而无系统的求解企图”为特点的。这种尝试的盲目性，使他们几乎得不到有利于求解的新画辅助信息。思维易受定势抑制，转换迟钝。他们在求解中，最初想到的解法(往往是一种较难的、习惯了的方法)阻碍着去发现其他解法，一种已经确定了的思路对重建思路具有一种抑制作用。这种思维过程中“凝固不变的、定型化”的特点，使他们在从一种思路转向于另一种思路时显得格外的困难和缓慢。“笨重”地推理而不能简缩。在数学活动中，他们常常被缠在一种烦琐的演绎之中，必须“按部就班”地经历了相当复杂的每一步骤后，才能得到一个判断。他们的推理一直是“以表面的理解，详尽的但又是不必要的活动”为特征的。这种推理结构笨重而不能加以适当简缩的特点，使他们信息加工速度十分缓慢，大大加长了问题解决的过程。(3)在数学材料的保持上，他们缺少对典型的推理和运算方式的概括记忆力。具体地说，机械地记忆数学材料，而不能通过分析、在理解材料的数学意义基础上进行记忆。例如，实验者曾要求一位数学困难学生回忆“平面上到两个定点距离相等的点的轨迹是连接这两点所得线段的垂直平分线”这一知识，他表示忘记了。实验者建议他阅读教材并尽量在理解的基础上记住它。在此后的两分钟内他只是重复地“念”文字材料，既不对照书上的图，也不自己画图。接着，他主动要求回答，准确地复述了全部内容。但是，当实验者要求他在田(直线是线段AB的垂直平分线，如图42所示)中指出几个到点A、B距离相等的点时，他只能指出点C并且说“其他就没有了”。显然，他对此轨迹究竟是由“什么样特征的点组成”、这些点“有多少个”和构成“怎样的线”等问题，并没有结合图形分别作过深入的理解。这种面对数学材料不能主动作出分解，不能深入领会其意义，而只是反复阅读文字符号进行知识记忆的特点，是导致他们记忆不能持久、也不能灵活应用数学知识的重要原因。识记和保持的内容常常是数学材料中个别的，零星的数据和细节，而不是主要因素数学运算或关系。例如，一个数学困难学生在实验者的帮助下，算出了这道题，可是一周后，她虽然记住了数113和112是题目的组成部分，却忘记了它们的数学关系两个数的平方差。在再现中，她先写出113、112，接着是113+112，最后是。她在回忆解答过的其他数学题时；也出现同样的情形，忘记了其中主要的因素题目中典型而概括的关系的系统。这与数学优秀生常常不记得数学材料中具体数字细节而善于记住其中的数学关系形成了极大的反差。对典型的推理过程的记忆，往往不作取舍，缺少提炼概括，记住的不是由推理要点组成的简缩结构。记忆中，他们不分主次，用同样的努力来对待推理的每个步骤，结果是由于识记的信息过多而显得记忆负载过重，而且很快就遗忘了。这可以在对“推理过程”再现的实验中，困难学生事无巨细、缺少层次、出现条理混乱的叙述中得到证实。这将导致他们在后继的解题中，难以运用这种简缩结构来构思相应求解过程。三、对数学后进生的教学策略在如何“帮助困难学生”的方式上，西方强调个别矫治，前苏联强调在不按成绩分班的班集体中转变，而我国则注重于这两者的结合。山东省泰安师专的后进生分类转化策略和上梅市闸北八中“成功教育”中的尝试成功策略，都使大量的数学后进生(或差生)逐步摆脱了“困境”，效果明显，值得借鉴。1、后进生分类转化策略研究实验以“优化外部环境，激活内部机制”为转化总策略。提炼各类后进生的主要特征，给出了分类转化的具体对策，为转化工作能做到“对症下药”提供了较为系统的方案，也为进一步研究初中数学后进生转化对策打下了扎实的基础。现将该项研究成果中的智力型、非智力型后进生的分类转化对策分别列成表41和表42，供学习研究(限于篇幅，态度不端型、方法不当型未列入，而且主要特征的细化部分和转化对策的实施细则也几乎没有列入)。表4.1 智力型后进生转化对策类别主要特征主要转化对策记忆障碍型理解记忆成分少，巩固效果差，记忆不持久，不准确；经常与其他知识混淆。重视概念教学，引导后进生把握概念的内涵和外延，把新旧概念联系起来学，提高知识巩固效果，提高记忆、保持再现的质量，力争达到规定水平；重视知识结构，以合理的形式呈现给后进生，指导记忆方法。思维欠缺型抽象思维能力的发展水平低，理解上困难较多，抓不住要领，概括水平低，找不出已知和未知的联系点，过分依赖感性经验的支持。围绕解决问题的一般思维模式，加强思维方式的训练；针对认知缺陷，创设问题情境，促使其主动思考；培养良好的思维品质；丰富后进生的知识经验。想象片面型思想不活，想象贫乏。片面地局限于狭隘的感知范围里，不能形成完整的数学图像；想象单调，在原有表象的基础上，不能创造出更多有意义的新形象；知识应用效果差。丰富后进生的表象；在教学过程中重视想象力的培养和训练；引导后进生广泛应用所学知识。操作迟钝型运算能力差。缓慢、呆板、出错率高；解题步骤不清晰，操作次序混乱。加强基础知识教学；加强基本技能技巧训练；养成验算习惯，提高验算能力；引导后进生掌握一般的解题步骤。表4.2 非智力型后进生转化对策类别主要特征主要转化对策情感障碍型有强烈的挫折感，对数学冷漠，不愿意学习数学，师生关系不融洽，数学成绩时有起伏，情绪容易波动。全面了解后进生的情感世界，正确对待其缺陷，改善师生关系；加强情感修养，形成健全的情感，增加后进生由于学习进步而获得的愉快体验，指导后进生确定合适的期望水平，让他们学会自己处理遭受挫折后消除不当情绪的方法。兴趣缺乏型对数学学习不感兴趣，学习目标不明确；学习主动性差，迫于压力，勉强完成各项数学活动，在作业中只关心怎么做，而不关心为什么这么做；不能体验到数学学习的快乐；成绩的好坏归因于外部控制轨迹。了解兴趣取向，利用迁移，培养数学学习兴趣；激发成就动机，提高抱负水平；促进数学学习直接兴趣的形成。让后进生体验获得知识的快乐和应用知识解决问题的快乐；引导后进生发现问题中的乐趣，提高数学学习的趣味性。意志薄弱型自制力差。学习时注意力不能持久，容易分心，易受干扰；浅尝辄止，缺少韧性。有领会知识，却不求甚解；害怕困难，不求进取，避难就易，畏难却步，怕苦怕烦，有了思路，却很少动手；胜骄败馁，经不起考验。提高克服困难的信息，例如让后进生做一些“似不会做”的题目，鼓励其克服困难，直至取得圆满解决，让他们在成功确信自己的力量，通过定向实践活动，磨炼其意志，如指导后进生定出合理、明确、具体的学习计划，并鼓励他们克服困难，坚持执行计划。2尝试成功的数学课堂教学策略这是上海市闸北八中教师面对班级中存在大量数学后进生，开展“成功教育”实验研究的一个成果。该校是一所困难学生相对集中的初级中学，小学留过级的学生占入学学生的377，用数学能力有关量表测查，数学学习能力低于平均值的占78。75，据学生自己陈述调查表明，90的学生认为自己初中毕不了业。教师们在每一个学生都可能取得成功的信念支撑下，针对数学后进生的认知特点，采用低起点、小步于、多活动、快反馈的“尝试成功”的教学策略，使学习困难学生的成功心理得到恢复，基础知识和能力得到增强。在具体实施中，主要的做法有：(1)选准教学起点，缩短认知距离。把握教材内容的最基本的教学要求；以学生实际认知基础为学习新内容的教学起点(这与教材中以某些相关知识为教学起点有所不同)；在学生认知基础与教学内容所选定的目标之间进行合理分层，通过增设“台阶”、降低认知“跨度”，为困难学生创设数学学习的成功机会，使他们逐步建立起学习自信心。(2)减少传授模仿，增加尝试活动。从数学学科特点上看，问题是数学的心脏，探求是数学的生命。从人的认知需求上说，苏霍姆林斯基曾经指出：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是个发现者、研究者和探求者。”这种认知中的“发现探求”的需要，困难学生也绝不会例外。因此，在数学教学中适当减少传授模仿，大胆增加一些适合困难学生的尝试活动，让他们在过程中切实获得“数感”，较为充分地层开理解，并逐步学会认识数学的合理方式，这是一项从根本上改变数学后进生数学学习困难、摆脱数学迟钝状态的基本教学对策。 问题情境的设计策略。难度宜小。闸北八中的做法是以每一步开放l2个因素作为困难学生尝试的空间。按照苏霍姆林斯基的研究，如果提供的材料全都是“新”的，则学生常常无法把新材料与自己的思想挂起钩来，被一种束手无策的感觉所控制，使思路中断，探求终止。而英国数学教育心理学家斯更普在实验后则进一步指出，不适当的增加难度，会造成恶性循环，“被试的学生成绩越差，尝试就越困难，因而成绩更差”。这些都证实了探求难度宜小做法的正确性。，而闸北八中在实验研究中，每一步放开l一2个因素作为困难学生尝试空间的做法，则是朝着减小探求难度方向卜走出了可喜的步，使困难学生能真正投入到尝试活动之中。尝试内容的设定。一般来说，设定在学科知识的重点部分例如，数学概念中，相对于概念名称、符号，其内涵是重点；又如，代数式分类中，运算结构是重点，等等)、学生认识过程中容易混淆的部分和容易疏漏的部分(如对定理“不共线三点确定一个圆”的认识，困难学生常疏忽“不共线”这个条件)。这有利于困难学生较为清晰地掌握基础知识和减少应用中的常见错误。问题情境中序的安排。以学生获取知识时间为参照，问题情境可以安排在此之前，以着重训练学生的归纳、概括能力；也可以安排在此之后，让学生不断产生“情理之中，意料之外”、“似乎已经知道，实际还不够清楚”的“愤悱”心境，让学生在尝试中通过不断修正错误，最终获得正确的认识。问题情境设计方法。问题情境与学科定论性知识存在着差异(即有一定的认知距离)，才具有尝试探求性；而差异的适度，使困难学生通过尝试最终能达到对定论性知识的认识，则才能为他们创设出获得成功的机会。因此，这里所说的问题情境设计方法是指面对内涵缺损法。这是指概念教学中，先隐去概念的内涵部分，向学生提供包含有概念正例反例和概念名称的问题情境。目的是让学生通过观察、分析、比较、体验、调整，最终获得对概念内涵的正确认识。条件轮流缺损法。这是指对于由几个条件同时满足的数学对象才有某个结论的数学命题，设计时可以先“保留”其中的一些条件，“隐去”另一些条件，构造出需要补上所隐去的条件才能有命题结论的一个问题，接着轮流交换“保留”和“隐去”的条件，再构造出一些问题，最后给出“在上述基础上，具备哪些条件的数学对象才会有相应结论”的问题。这有利于困难学生对较为复杂的联言命题的条件形成较为完整的认识。 退回背景法。这是指数学运算规则教学时，退到其生成背景来建立相应的问题情境。目的是让困难学生通过尝试，理解运算规则产生的合理性。具体地说原有运算规则在新范围上的推广可以退到原有范围上来建立问题情境；逆运算规则的建立可以退到其正运算规则上建立问题情境；而新运算规则的建立则可以退到相应的具体实例上构造问题情境。等等。赋值设计法，它适用于用字母表示数的抽象命题的教学，是指通过对命题中字母的合理赋值，设计出具体化的分层次的问题情境的方法。其中，合理赋值是指所得到的具体实例要有典型性，尽可能涵盖住抽象命题的方方面面。它有利于困难学生通过观察、操作，在获得数感的基础上逐步产生出对抽象命题的理解。此外，还有整体碎裂完型法(用于发现关键元素)、逐步完型法(适合于属概念之后的种概念的教学)和疑问方向改变法(适用于构作开放式问题情境)，等等。这里值得指出的是：上述所及仅仅是指出问题情境设计是有方法可依的，而真正形成能与教材配套的系统化的、行之有效的适合于困难学生尝试的问题情境材料还是一项需要深入开展研究的工作。l 尝试活动的组织实施策略。尝试探求是一个需要不断对所发生的情况进行必要的调整的动态过程。在课堂教学中，合理地组织困难学生的尝试活动，将关系到他们的尝试效果。尝试探求时间。要安排出较为充裕的时间，否则困难学生的思维展开就不充分。而且在相应的时间内，教师不要去催促学生，也不要过分重复唠叨问题情境，因为这常常会干扰学生的思维。尝试过程中的指导。据调查，困难学生在探求中经常采取“盲目干”的做法，缺少必要的自我意识、自我评估和自我调整。因此，在尝试过程中教师应指导学生明确探求的要求对于“在什么条件下，探求什么?”要有清醒的意识；选用“探求工具”从问题情境的信息出发对头脑中的知识进行搜索，努力寻找出合适的知识并且使之成为探求问题的有用工具(这是苏霍姆林斯基在关于“研究性学习”的研究中的主要观点)。用“问题”调节尝试过程：第一，调节思维过程。研究表明，经常地向自己发问是进行自我掉界调节的最有效的方法。因此，教师把数学尝试活动中常用的具有调节功能的问题揭示出来，指导困难学生的尝试过程，并进一步让他们学会主动地用问题来调节自己的思维过程，这是使他们摆脱盲目尝试的有效方法。一般地，经常问及的问题有：“什么”(现在正在做什么?)；“为什么”(为什么这样做?)；“怎么样”(结果将会怎样?)。具有调节尝试方向和方法的问题有：“是否真正弄懂题目的要求?”(调整到对题目的再认识)“困难是由于疏漏条件造成的吗?”(调整到对条件的再认识、再应用)“困难是由于选择途径不当造成的吗?”(调节到是否转换途径的选择性思考)“困难是否由于缺少分解出对象的特征造成的?”(调节到对事物细节的观察和特征分解的思考)“对于条件与目标，还有哪些知识可与它们关联呢?(调节到寻求新的“探求工具”的思考) “对此问题知道的太少，为什么不退回到具体情境，做些实验从中发现点什么后，再回到原问题中去呢?”(调节到对数学方法“试、猜、证”的应用上) “数(形)的问题那么难处理，为什么不把它化为形(数)的问题呢?”(调节到“数形转换”)“至此，问题解决已达到了哪个阶段?下一步将需要做什么呢?”(调节到对当前阶段的评估，并确立下一步要做的主要工作)“问题似乎已经解决，其中还有哪些不足?”(调节到对过程的反省，克服其中一些不足)，等等。第二，调节尝试难度。针对困难学生在尝试中遇到的实际困难，教师可以利用辅助问题作适当提示，以降低尝试难度，使探求活动得以持续进行。在用辅助问题作提示时，要分层进行，使每一个辅助问题既能有所提示，又能留下尝试余地，尽可能避免“一竿子插到底，什么都点明白”的情形的出现。那种让困难学生避免尝试过程中“一切困难”的做法将很难使他们获得认知方式的真正改进。苏霍姆林斯基的“我们在提供赵数上是慷慨的，但是在提供现成的概括化的结论上是吝啬的”观点，是值得我们认真汲取的。(3)充分暴露思维过程。教师对困难学生尝试的指导和矫正工作，只有在学生充分暴露其思维过程的基础上进行才会有更好的效果。为此，教师训练困难学生克服“怕出错”的心理、能“要点式”地说出自己的“思路、方法、结果和困难”是必要的，并且要求教师在提出一个问题，由多人回答、反应后，再提出进一层的问题。(4)教育评价的多元性。数学困难学生在教学过程中的进步是充满艰辛的。因此，采用多元性评价策略来激发并强化他们数学学习的自信心是非常必要的。这种评价多元性表现为：一是因人评价，即对个人尝试的进展、得失给予评价；二是过程性评价，评价尝试过程重于尝试结果；三是体验性评价，提倡学生对自己参与尝试所得的体验进行评价；四是变化性评价，即对尝试进程中学生素养、能力的，变化情况作出评价。3数学后进生的个别矫正策略据布鲁姆的研究，不同基础的学生达到同一教学目标所化的有效学习时间是不同的。因此，对于数学后进生的指导帮助，除了在课堂教学中进行之外，在课余时间给予合适的个别指导是完全必要的。(1)应急性矫正。数学学科知识是逐级抽象的，数学后进生已有知识、技能上的众多缺陷是造成他们理解掌握新知识困难的重要原因。因此，及时地弥补这及时地弥补这种缺陷是使他们跟上班级数学学习进程而不致“落伍”的一项基本措施，这里称为应急性矫正。这种矫正既包括展开新知识教学前的对于“旧知识、旧技能”的补缺工作，也包括“新知识”获取后对于在理解、掌握上的不足之处的矫正(以减少后继学习的困难)。做好这项工作的关键，一是要及时，二是要有针对性。在具体实施时，则应该努力做到“缺啥补啥，随遇随补，急用先补，基础为主，注意巩固”。 (2)根治性矫正。这是一项以调整改进数学后进生的数学认知方式为主要目标的个别化矫正工作，目的是通过转变数学后进生的数学认知方式来逐渐改变他们在数学学习中的迟钝状态。这是一项艰苦而且需要长期坚持的工作，周密计划、分阶段实行、讲练结合则是做好这项工作的关键。在具体实施时，应该做到：通过测试，吃准困难学生的认知特点；结合单元教学进度，确定每个阶段的矫正重点，并据此选择合适的活动材料，使认知方式的矫正能促进单元学习的进步；确定合适的指导方式，在认知过程中进行认知方式矫正。一般采用“暴露一讲评一练习”的方式来反复进行，到基本上能按照所介绍的合理方式进行认知，并切实体验到它的合理性为止。这里，还需要指出的是：首先，要注意让困难学生学习具有普遍意义的认识方法(例如，分析、比较、综合、抽象和概括等)，而且要结合数学学科的知识特点进行，切忌笼统地说“学会分析”、“学会概括”等。数学是研究数、形及其关系的学科，数学中的分析、比较、综合、抽象与概括必然有其特殊的地方。面对所需认识的数学对象应该分解出哪些基本元素，考察哪些关系，概括什么和怎样实现概括，数学都有着自身的特点。而那些在其他学科学习并不困难的数学后进生在数学学习中的最大困难，就是他们对数学学科的这种特点不认识、不适应和不习惯。因此，为了能切实改进困难学生的认知方式，数学教师首先要深入了解、恰当提炼数学学科的这种特点，并且能够以较为通俗的方式让困难学生理解。其次，矫正工作应该分层按序进行。理解数学知识的方式是有水平层次差异的，一般可以划分成：具体直观方式，即借助具体实例来直接理解抽象的知识或规则；理论逻辑方式，即对规则成立的理论依据和推理过程的认识；发现方式，即对于规则及其推理链是怎样想到的认识。因此，对于数学后进生的矫正工作应该合理定位、分层按序进行。例如，在具体直观层次仍有较大困难时，一般不要急于过渡到理论逻辑方式。最后，矫正工作要真正取得实效，除了数学教师要有足够的教育责任心之外，还需要有较高的数学教学水平，这就像医生救活重病人要有高超的“诊断和治疗”本领一样。附录：智力型差生转化个案一、实验对象的基本情况实验对象H：女，1982年2月12日出生。(1)家庭情况：(略)(2)本人情况：活泼开朗，对音乐舞蹈特别感兴趣，性格子和，很讨人喜欢。学习算不上很勤奋，做功课也不十分用心，学习目的性不甚明确，效率也不高。二、主要心理特征分析H所在的班成为实验班以后，根据实验初步诊断结果，确定H为数学差生。H的各项心理测量结果分别如下：智商：85 偏低推理：43 中等兴趣度：100很高意志：61 较好气质：多血质粘液质混合型情绪稳定性：33 一般稳定学习态度：一般在诊断考试中，H的成绩为43分，在全班排名64，总效标分为55。从测试结果显示，H在总体上应是智力型差生，其抽象思维能力较低，这是她的突出薄弱点。分析她的学习过程，就能更充分地了解这一点。(1)观察仔细，但不深刻。在教学“和或差的平方公式”时，教师一时疏忽，写成了，此时其他学生都没在意，但教师却发现H似有疑问，可她又不提出来；利用学生做练习的机会，教师走到H身边，关心她有什么问题，这时她才不好意思地说：“老师，您写的好像有个错误，应该才对，您把的符号写反了。”她的这种表现并不是偶尔一次，而是带有一般性。由此可以看出，H的观察力还是不错的。但是，H的观察问题往往只限于表面。而且，对于比较简单的问题，她大都没有问题。但当问题需要继续观察不能一步到位时，她就感到困惑了。例如，有这样一道题目：计算H只能做出第一项与第二项的乘积，即：她不能看出这是一道连续使用平方差公式进行计算的题目。观察力是智力的重要组成部分。观察力对于学生的智力发展有重要的意义。H尽管观察问题比较仔细，但由于不深刻，仅局限于表面，这对她更好地学习数学是不利的。(2)数学记忆中理解的成分少，以机械记忆为主。H在学习数学概念、定理、公式、法则的时候能够很快就背会，而且背得比较熟练。但是，在运用这些知识解题的时候，她的反应就有些慢了。有的时候，需要经过老师或同学的提醒，她才会想起该如何运用，这表现出她在学习知识的时候，主要依靠机械记忆米获取知识，理解成分却比较少。(3)数学抽象思维水平比较低。从H的几何、代数的学习成绩可以看出，H的几何成绩要比代数成绩好一些。在解答难度相当的代数证明题和几何证明题时，她的代数题得分率一般在4570之间，几何得分率在6085之间。这表明在数学抽象思维方面，H是存在一些问题的。她总觉得代数很抽象，不像几何那样直观、具体。做几何题目，可以画出图形来，根据图形来做就可以了。代数却不能这样，只能看着那些式子、字母发愣，不知道如何做。在学习了平方差公式后，我让学生计算这样一道题目：H对这道题目，一筹莫展。我问她：“你打算怎样做这道题目?”她回答说：“我想用平方差公式。可是，平方差公式是呀，这道题是，公式套不上。”她就没有想到16是2的倍数，把16转化成2的倍数进行计算。事实上，如果让她计算，她是会做的。但却不能做，这表明她数学抽象思维水平较低。(4)知识迁移能力差。H在学习中，知识迁移能力比较差，不能用新学的知识解决情境相似的问题，所学知识只能拘泥于一事一物，而无法迁移到其他事物上去。也就是学习比较死板，缺乏灵活性，做不到举一反三。学习几何中“同位角、内错角、同旁内角”这一节后，我给出了两种图形，要求指出这三种，如图43、44，对图43她能够比较准确地指出三种角，但却不能由此迁移剑图44中，正确指出三种角。又如，在学习了公式后，让H做题目：时，她就感到很为难。其实，这是与公式性质基本相同的题目，只要把看作一项，问题就化为的形式了。(5)运算准确，但略显呆板。在计算题目时，H对于会做的题目，一般很少出错，她解题很细心，也很认真；有些比较复杂的题目，她也能一步一步地、一丝不苟地把题目解完，直至得出最后的结果。她不怕麻烦，有耐心，所以只要她能够理解的题目，会解的题目，她大都能解对。但是，分析她的计算过程可以看出，有些时候她的运算过程比较呆板。对于那些比较简捷的解题方法，她想不到，所以，只能按常规方法计算。(6)学习中缺乏自主的勇气和信心。H由于学习成绩一直比较低，因而在学习上她表现得不是很自信。解决问题时显得优柔寡断，缺乏自主的勇气和信心。特别在解那些较为复杂的题目时，总是说自己不会做，即便有了解题思路和方法，她也不大敢讲出来，而是先了解一下别人是怎么做的，如果别人的想法与她的一致，她就表现得很兴奋，很活跃；不一致时，则表现得紧张，只是对别人随声附和，而不敢讲出自己的想法。其实，她的想法并非每次都错，但由于缺乏自主的勇气和信心，只要一听说别人的想法与自己的不一样，她首先就会想到自己错了，一旦如此，她就无所适从。在学习绝对值时，我出了这样一道题目：，则。这个命题是否正确?她起初认为是错的。我说：“当都是正数或者0时，则，即。题目应该是正确的。”我看到H有一丝疑惑，但一闪而过，马上同意了我的看法。我又说：“当为负数，为正数时，则应当是，由此看题目是错的。”这时，H真的想不通了，她不禁问道：“老师，您一会说对，一会说错，到底是对还是错呢?”我问她：“你说是对还是错呢?”这一次，她回答得很干脆：“我不知道。”看，她原先的回答本来是正确的，可最后却变成了“不知道”。这不能不说是与她缺乏自主的勇气和信心有关。总之，H的综合表现，体现了在智力基础上的“底气”不足。表现在非智力因素方面的薄弱状态是与其智力水平欠佳联系在一起的。在学习中，智力因素与非智力因素相互作用，影响了她数学学习的效果。三、转化思路根据H所在班级及H本人特点的分析，我确定了初步转化方案。(1)优化班内环境，使每个人都有自己的位置。我认为，实现差生的转化首先就是优化班内环境，培养一个健全的班集体。给每个学生特别是差生确立自己在班中位置的机会，并使他们最终获得自己所期望的位置。(2)改革传统的课堂教学结构，让所有的学生，特别是差生都参与到教学过程中来。(3)激活内部机制。改革课堂教学结构，优化班内环境的目的就是为了激活学生内部机制，实现全面发展，我打算创造更多的机会，让其更多地思考问题，分析问题，以此来实现根本的转化。(4)转化过程：建立健全班集体，我主要做了以下工作：第一，开展“你在我心中”活动。第二，开展“寻找80个状元”活动，让80个学生经过广泛讨论，找出了每个同学的长处。通过这个活动，使全班同学从中看到自己的价值。全班同学非常和谐地在一起学习，相互帮助，共同进步。第三、发起“我为同学做点什么”活动。在活动中，H变得开始信任自己了，开始相信其他同学了。她说：“现在我怎么想的就怎么讲，我错了，同学只会帮助我，而不会取笑我，我应该讲出自己的想法。”实施“三卡四步”式教学，改革课堂教学结构。第一，指导学生，特别是差生编写三张卡片。a卡是相关基础知识卡。学生自行阅读课本，编写学习新知识以及所需的相关基础知识。例如在学习“繁分式”时，我指导H编写如下内容：分式定义，分式的基本性质，分式除法法则。把这些内容搞清楚，简要地写在卡片上。b卡是问题卡。学生根据自己的预习情况和理解程度，编写不同的卡片。我指导H编写下列内容：繁分式是什么?它与分式二者有什么关系?判断繁分式的标准是什么?化简繁分式的方法有哪些?哪种方法比较好? 对吗？为什么？c卡是问题解决自结卡。学完新内容后，让学生根据b卡中的问题，总结自己的学习体会，找出自己的进步，等等。第二，四步教学过程。第一步是预备问题，与a卡相呼应。目的是让学生在相关知识的基础上，顺利地向新知识过渡。就繁分式而言，在这一步中，主要让学生解答下面一类题目：是 。分子、分母的特点是 。繁分数是 。找出定义中出现的所有的分数。中分子、他母的特点是什么？仿繁分数定义，给繁分式下定义。化简，仿此化简。由于对所用的相关基础知识学生都已经很了解了，所以，这一关大多没有什么问题。差生H也比较顺利地通过了这一关。第二步是分解问题。应用第一步中的题目把新的教学内容进行分割，降低难度，使之与a卡中的知识建立对应关系，如把繁分数向繁分式转化：把“繁分数是分子或分母中又含有分数的分数转化为“繁分式是分子或分母中又含有分式的分式”。把“化简繁分数”向“化简繁分式”转化，如：化简，原式（利用分数的基本性质）转化为化简，原式（利用分式的基本性质）这一步主要依靠类比模仿。差生H也顺利过关。第三步是递深问题。逐层递进，深化问题，目的是培养学生转化分解问题的思维能力。这一步中的关键是把握好问题的梯度。如可以让学生化简，再化简，最后化简，在此基础上，可想导学生思考：由个分式构成的繁分式怎样化简：个因此，第三步是提高数学差生思维能力的关键。H在这一步中就不如前两步那么顺利了。但是她明显地处于积极的思考之中，她说有种能够将问题解决的感觉，因而对题目很感兴趣。这时要耐心地让她心平气和地一步步计算。当她终于成功了的时候，她十分兴奋，以至于要求我再给她出道题目做。看她的样子，真有点欲罢不能了。第四步是检验效果，反馈信息。就是对本节教学内容的学习效果进行评价。我采取“同一试卷，分层要求，差异记分，自然升降”的做法。试题分A、B、C三类题目：A指基础知识，B指中等难度知识，C指较高难度知识。对于20的优秀生，测试成绩：；对于27的差生，测试成绩；对于53的中间生，测试成绩：。这样，差生只与自己比较，他们能够看出自己的进步，从中感到愉快，获得自信。H的测试成绩连续几次都在80分以上，我对她说：“你应该是中等生了。”她听了很高兴。四、转化结果经过一年的实验，实验班成为一个团结友爱的班集体，各项活动、各门学科都较实验前有了明显的进步。表现在数学学习上，实验班的及格率和优秀率分别从634和248，提高到了905和437。H本人在期末考试，也得了86分的好成绩。从这一阶段看，公平地说，她已经不再是数学差生了。实验中所选的与H配对研究的对照生C，在一年前，智力和非智力水平都与H相近，一年后，虽然C也有一定的进步，但从总体素质和学习成绩来看，二者已开始表现出明显差异。(实验报告人：夏丙江老师)第三节 对数学优秀学生的教学无论是过去的“精英教育”，还是现在的“大众教育”，教师在教学过程中都会发现，有些学生对数学表现出特别浓厚的兴趣，他们对数学知识明显比别的学生理解得快，体会得深，记忆得牢，应用得自如。他们往往能很轻松地完成学校规定的课程内容，且学习成绩远远超过一般同学，这些学生常被称为“数学天才”，他们中的大多数将来会成为社会的优秀人才。在学校教学中如何最大限度地发展他们的特殊才能，完善他们的知识结构和全面素质，使他们将来真正成为社会的栋梁之材是数学教学重要的一个层面。一、数学优秀学生对那些被称为“数学天才”的学生，我们暂且称他们为数学优秀学生。那么怎样的学生