第三章 量子力学初步.doc

第三章 量子力学初步原子结构按电子的轨道运动来描述在原子物理的发展中是一个重要的成就，但也有其局限性（正如第二章所述）。量子力学对原子问题的处理开辟了一个新的门径。1924年德布罗意从光的二象性推断微粒的波动性。在这个基础上，薛定谔在1925年发现了一个描述原子的新理论，称做波动力学。同年海森伯独自提出了矩阵力学。这两种理论在数学形式上差别较大，而结论却相同，实质上是相同的理论。现在的量子力学融合了原来薛定谔和海森伯的理论以及其他好多人的贡献，成为微观体系的基本理论。3.1 物质的二象性P78-1、光的二象性在干涉、衍射、偏振这些现象上，光显出波动性；在涉及能量的问题中，例如黑体辐射、光电效应等问题，光又显出微粒性。一个光子的能量为： （1）由质能关系 ，得光子的质量为 （2）那么，光子的动量为 （3）由上述（1）式和（3）式就可以看出，光具有波粒二象性。2、微粒的波动性德布罗意推想，光既在某些情况下具有波动性，在另一些情况下又具有微粒性，那么那些实物粒子，如电子、质子等，是否也具有波动性。他在1924 年提出了这个设想：如果实物粒子也具有二象性，那么半球光的两公式（1）和（3）也能用于实物粒子。同实物粒子联系着的波应该具有的波长为 （4）人们称同实物粒子联系着的波为德布罗意波。3、德布罗意波的实验验证（P79-82）实物粒子的波动性已由实验证实。戴维孙和孔斯曼在德布罗意的确建议提出以前，在1921到1923 年间就观察到，电子被多晶体的金属表面散射时，在某几个角度上散射较强，当时未有合适的解释。其实这已经显示了电子的波动性。戴维孙和革末继续进行了电子在晶体上散射的实验，到1927年发表了较准确的测量结果，证实了德布罗意的设想。他们的仪器如图3.1所示。在抽空的金属盒中有电子源G，由热金属丝发射的电子，加速后经过前后几个小孔，形成一道电子束，打在晶体T上。T可以绕一平行于电子束的轴转动。C是接收器，同一个灵敏电流计相接，用以测量收到的电子的数量。C可以在一圆弧上移动，圆弧的圆心在晶体T上，所以C可以在不同角度接受从T散射出来的电子。电子的波长： （V用伏特来表示） （7）由加在仪器上的加速电压可以算出波长。电子如果确有波动性，那么电子束射在晶体上就像光一样会有衍射发生。图3.2就是电子在晶体中的衍射。实验已证实了电子的波动性。3.2 测不准原理 P82-861、位置与动量之间的测不准关系 P82-在经典力学的概念中，一个粒子的位置和动量是可以同时精确测定的。在量子理论发展后，提示出，要同时测出微观物体的位置和动量，其精密度是有一定限制的，这个限制来源于物质的二象性。即 （1）这里，为普朗克常数。这公式表示出同时测定一个微粒的位置和动量的精密度的极限。这个规律直接来源于物质具有的微粒和波动的二象性。这个测不准关系表明，如果要把粒子的动量非常精密地测定，即，那么位置就非常不确定，即。反之，要位置精确测定，动量就非常不确定。2、能量与时间之间的测不准关系 P84-测不准关系也存在于能量与时间之间。一个体系处于某一状态，如果时间有一段t不确定，那么它的能量也有一个范围E不确定，二者的乘积有如下关系： （2）由能量与时间之间的测不准关系可推导出位置与动量之间的测不准关系，有3、测不准关系的普遍原理凡是经典力学中共轭的动力变量之间都有这个关系。除上面说到的两式外，还有角动量和角移之间的测不准关系。现将各种测不准关系开列在下面，其中动量和位置的关系分为三维的形式： 测不准原理来源于物质的二象性，既是微粒，又是波，这是微观物质表现出来的性质。所以测不准原理是物质的客观规律，不是测量技术和主观能力的问题。3.3 波函数及其物理意义 P86-波函数：实物粒子的德布罗意波也可以用公式来表示，相当于弹性波的位移或电磁波的电场强度或磁场强度的一个量，我们作一个符号代表，称为波函数。1、一个自由粒子的波自由粒子不受力，动量不变，所以同它联系的波长也不变，是单色波。代表平面单色波的公式可以写成： （1）改为复数形式为 （2）（1）是（2）的实数部分。如果用矢量代表波长倒数的数值和波的前进方向，（2）式又可以写成 （3）量子力学文献中一般写成 （4）把表示微粒性的能量和动量关系和，代入，得 （5）上述（1）到（5）式所代表的是振幅恒定的波。2、德布罗意波的统计意义（P87-）（1）先前认识波是基本的，粒子只是许多波组合起来的一个波包；粒子是基本的，波只是大量粒子分布密度的变化；（2）玻恩的统计意义波函数代表发现粒子的几率，这是每个粒子在它所处环境中所具有的性质。如果有大量的粒子，那么在某处粒子的密度就与此处发现一上粒子的几率成正比。在体积中发现一个粒子的几率表达为 代表在单位何种内发现一个粒子的几率，称为几率密度。3、波函数必须满足的一些条件（P88）：连续：几率不会在某处发生突变。 单值：在任何处，只能有一个几率。 有限：几率不能无限大。3.4 薛定谔方程 P891、拉普拉斯算符 2、薛定谔方程（1）一个自由粒子的薛定谔方程 （6）（2）薛定谔一般方程（处在力场中的非自由粒子）因为 ，则 （9）它是描述一个在力场中的粒子的微分方程，这方程的正确性要看它对具体问题的结论是否同实验符合。3、定态（P90-91）（1）定态：能量不随时间变化的状态称为定态。（2）定态的薛定谔方程：在定态时，可以高（9）式的V只是坐标的函数，与时间无关。则（9）式的解就可以表达为坐标的函数和时间的函数的和乘积，即 （10）由于 （13）则（10）可变为 ， （14）于是得定态的薛定谔方程为 （15）只是坐标的函数，方程不含时间。故称为定态的薛定谔方程。4、代表力学量的算符（P91-93）现在我们根据以上的讨论来说明每一个力学量可以用一个算符来代表。下面介绍薛定谔方法中几个常用的算符。（1）代表动量的微分算符，（2）代表位置的算符就是本身。运算于一个函数时就是乘以。（3）只与坐标有关的势能，其算符就是本身，运算于一个函数时就是乘以。（4）代表能量的算符 或 （5）哈密顿算符 这个算符只包括空间变量，不包括时间。把它运算于就有。这就是（15）式，即与时间无关的薛定谔方程。这类方程称为本征值式方程，由此求出的称为能量算符的本征函数，同每个本征函数对应的值，称为能量算符的本征值。对于其他力学量，如动量、角动量等，也可以用力学量的算符运算于一个待解的波函数，列出本征值方程，然后解这个方程，求出本征函数和本征值。用算符代表的力学量的本征值是对这个力学量进行精密测量可能获得的仅有结果。3.5 量子力学问题的几个简例 P93-（略讲）1、无限高势壁之间的一维运动（一维箱） （P94-98）2、简谐振子 （P98-101）3、势垒 （P101-103）3.6 量子力学对氢原子的描述 P103-1、波函数氢原子体系的势能与时间无关，即 其波函数应为定态的形式，所以其薛定谔方程为 （1）用极坐标表示为 （2）这个微分方程的解可以表达为三个函数的乘积：的函数，的函数和的函数，即 （3）把（3）代入（2）得， （4）上式令等于常数，则分解为如下两式左边 （5）右边 （6）同理，将（6）式也分解为两式，得 （7） （8）（5），（7），（8）三式分别是，的微分方程，可以分别解出。（8）式的解为 将改用表示，则 （9）这样，（7）式可改写为 ， （10）其解为 （11）这里，是连带的勒让德函数，可按下式算得， （） （12）（5）式的解为 （14）以上（9），（11）和（14）三式给出了，和三个符合波函数要求的函数。通过归一化步骤分别把A，B，C三个常数算出后，就全部算了出来了，这是氢原子各定态的本征函数。N，l，m三个量子数是原子态的标志。2、能量和角动量（1）能量（在的的范围内）P106- （17）这同玻尔理论的结论完全一致。在范围，取任何值都能使有限，所以正值的能量是连续分布的。（2）角动量 P107-总角动量本征值 （20）Z轴方向的角动量 （21）3、电子被发现的几率的分布 P109-略讲例题例题1 （习题 P113，4第一问）试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。证明：因为 和所以 即氢原子的稳定轨道与整个德布罗意波波长相对应，且每个轨道上的波长数就是该轨道的序数。例题2 （丛P122，例5）一个原子在其激发态停留时间的不确定性（平均寿命）为秒，那么该激发态的能量的最小不确定量为多