三重积分计算法ppt课件.ppt

第三节三重积分的计算法 一 利用直角坐标计算三重积分 二 利用柱面坐标计算三重积分 三 利用球面坐标计算三重积分 可以用直角坐标 柱面坐标和球面坐标来计算 计算方法是将三重积分化为三次积分 三重积分 一 利用直角坐标计算三重积分 用平行于坐标面的平面族 去分割积分区域 除边界外每个小块都 是一个长方形 于是得到体积元素 设如图 将向xoy面投影 得 以的边界为准线母线平行于z轴的柱面把分为下上两个边界 于是 则 积分区域可表示为 先一后二 根据D是X型域或Y型域确定二重积分的积分限 就得到三重积分公式 若D为X型域 则有 这是先对z 次对y 最后对x的三次积分 例1计算 其中为三个坐标面及平面x 2y z 1所围成的区域 解在xoy面上的投影为 若看成X型域 则 例2将化为直角坐标系下的三次积分 其中是由平面x y z 1 x y 1 x 0 y 0 z 1围成的区域 的下底是x y z 1 上底是z 1 解的投影是x y 1 x 0 y 0围成的三角形域 2 截面法 先二后一 1 投影法 先一后二 计算三重积分时 先求一个二重积分 再求一个定积分的方法 设区域的z值的最大值 过内任一点z 作水平平面与交出截面就是二重积分的积分区域 和最小值为和 先在上对x y积分然后在上对z积分 2 截面法 先二后一 这样得到 先求出上的二重积分再求定积分 先二后一 此法常用于上的二重积分易求的情形 例3计算 其中是由椭球面所围成的空间闭区域 解z的最小值和最大值为和 即 的面积为 二用柱面坐标计算三重积分 在xoy面上就是极坐标 设M x y z 为空间一点 如果将x y z改用另外三个数来表示 则称为点M的柱面坐标 三组坐标面 柱面与直角坐标的关系是 常数 水平平面 常数 半平面 常数 圆柱面 由图可知 三组坐标面族去分割空间区域 其任一小块的体积可以近似看成以为底 为高的柱体体积 体积元素 因此 则积分区域在柱面坐标系下的表示为 在柱面坐标系下 区域由直角变为柱面坐标表示 则三重积分化为柱面坐标的三次积分 若 解将积分区域向xoy面投影 得 柱面坐标 例5计算其中是由曲面与平面围成的区域 解在xoy面上的投影区域为圆域 所以 例6计算 其中 问题 若例6中的积分区域改为 则 答由对称性 有 思考题 在柱面坐标系下求三重积分可以看作在直角坐标系对作单积分 然后在投影区域上用极坐标作二重积分呢 答 可以 三 用球面坐标计算三重积分 设M x y z 为空间一点 如果将x y z改用另外三个数r 来表示 则称 r 为点M的球面坐标 球面坐标与直角坐标的关系是 分割空间区域 其任一小块的体积 可以近似地看成是长为 宽为 高为的长方体体积 积分元素 其中 一般将右端的形式化为先对r 次对 最后对的三次积分来计算 三重积分在球面坐标系下的形式 一般地 空间区域包含原点在其内部 边界曲面为则有 例如当为球面时 例7求半径为的球面与半顶角为的内接圆锥面所围成的立体的体积 如图 解根据积分性质 的度量 将用球面坐标表示成不等式 思考题 球面方程 柱面 球面 柱面方程 直角 坐标系 1 填写下表中的空格 2 计算重积分应怎样选择合适的坐标系 应考虑哪两个方面 哪个方面更重要些 相对而言 便于积分更重要一些 小结 1 柱面坐标系下 两种坐标系下三重积分的计算 由柱面与直角坐标的关系 有 若 则 且被积函数含有常用极坐标 且被积函数含有常用极坐标 2 球面坐标 由球面坐标与直角坐标的关系 三重积分在球面坐标系下的形式 其中 一般地 空间区域包含原点在其内部 边界曲