经济数学4.3积分基本公式.ppt

一 不定积分的基本公式 ESC 4 3积分的基本公式 4 3积分的基本公式 三 定积分的基本公式 二 变上限定积分 ESC 一 不定积分的基本公式 如下不定积分的基本积分公式 根据导数基本公式 ESC 一 不定积分的基本公式 一 不定积分的基本公式 ESC 一 不定积分的基本公式 ESC 直接积分 直接利用基本积分公式和不定积分的运算性质 有时须先将被积函数进行恒等变形 便可求得一些函数的不定积分 例1求不定积分 解 一 不定积分的基本公式 ESC 例2 求不定积分 解 一 不定积分的基本公式 ESC 求不定积分 例3 解 一 不定积分的基本公式 ESC 求不定积分 例4 解 一 不定积分的基本公式 ESC 例5 解 由不定积分的运算性质 由不定积分的基本积分公式 求不定积分 一 不定积分的基本公式 ESC 例6 求不定积分 解 由不定积分的运算性质 由不定积分的基本积分公式 一 不定积分的基本公式 ESC 例7 求不定积分 解 由不定积分的运算性质和基本积分公式 一 不定积分的基本公式 ESC 例8 求不定积分 解 由不定积分的运算性质和基本积分公式 一 不定积分的基本公式 ESC 例9求 解 一 不定积分的基本公式 ESC 例10求 一 不定积分的基本公式 ESC 例11求 解先把被积函数化简 一 不定积分的基本公式 ESC ESC 二 变上限定积分 ESC 二 变上限定积分 ESC 二 变上限定积分 而 积分中值定理 ESC 二 变上限定积分 由定理4 1可知 如果函数在区间上连续 则函数就是在区间上的一个原函数 ESC 二 变上限定积分 例12计算 解 ESC 二 变上限定积分 例13求 解当时 有 ESC 二 变上限定积分 例14计算 解设 则 所以 ESC 二 变上限定积分 ESC 三 定积分的基本公式 但这种方法只能求出极少数函数的定积分 而且对于不同的被积函数要用不同的技巧 因此 这种方法远不能解决定积分的计算问题 这里通过揭示导数与定积分的关系 引出计算定积分的基本公式 牛顿 莱布尼茨公式 把求定积分的问题转化为求被积函数的原函数问题 ESC 三 定积分的基本公式 证由定理4 1 函数是的一个原函数 而函数也是的一个原函数 所以与在上仅差一个常数 ESC 三 定积分的基本公式 故 于是 4 3 4 式化为 ESC 三 定积分的基本公式 即 即 ESC 三 定积分的基本公式 定理4 2通常称为微积分基本定理 公式 4 3 3 称为牛顿 莱布尼茨公式 这一定理揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分的联系 ESC 微积分基本定理 牛顿 莱布尼茨公式 若函数在闭区间上连续 是在上的一个原函数 则 三 定积分的基本公式 ESC 牛顿 莱布尼茨公式 是在上的一个原函数 则 该公式阐明了定积分与原函数之间的关系 被积函数的任一个原函数在积分上限与积分下限的函数值之差 定积分的值 要求已知函数在区间上的定积分 只需求出在区间上的一个原函数 并计算出它由端点到端点的改变量即可 这样就使定积分的计算大大简化了 三 定积分的基本公式 ESC 例15 求定积分 解 由牛顿 莱布尼茨公式 因的一个原函数是 三 定积分的基本公式 ESC 例16 求定积分 由牛顿 莱布尼茨公式 由定积分的性质 三 定积分的基本公式 解 ESC 例17 求定积分 由定积分对区间的可加性 由于 因的一个原函数是由牛顿 莱布尼茨公式 有 三 定积分的基本公式 解 ESC 例18 三 定积分的基本公式 解 已知 求定积分 ESC 三 定积分的基本公式 运用两条积分运算性质和20个基本积分公式 有时需要对被积函数作适当的恒等变形而求得积分的方法 通常称为直接积分法 注意 1 充分利用化乘除为加减或利用三角恒等式化简的方法 2 尽可能化假分式为多项式和真分式 3 要理解绝对值函数和分段函数的定积分求法 4 求解定积分只要求出一个原函数 不要加 再把上下限代入即可 ESC 内容小结 1 直接积分法 利用恒等变形 积分性质 及基本积分公式进行积分 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 代数公式 2 微积分基本定理 ESC 课堂练习 1 求下列不定积