苏教版高三数学复习课件3.6二倍角的三角函数.ppt

能运用两角和与差的正弦 余弦 正切公式以及二倍角的正弦 余弦和正切公式进行简单的恒等变换 包括导出积化和差 和差化积 半角公式 但对这三组公式不要求记忆 第6课时二倍角的三角函数 命题预测 1 倍角公式的主要考查方式有 利用倍角公式 半角公式 和差化积公式 一是进行化简与求值 二是证明三角恒等式 三是三角问题的综合运用 2 本节试题多以填空题的形式出现 因此 应注意在复习中重视填空题的一些常用解题方法 1 在应用倍角公式解题的过程中 对公式中的 角 应该有广义的理解 如 将4 作为2 的2倍 将作为的2倍等 2 在应用两角和差公式解题过程中 既要熟练运用公式 也要善于逆用 变用公式 例如 降幂公式 升幂公式 1 cos2 2sin2 1 cos2 2cos2 应试对策 知识拓展 倍角公式sin2 S2 cos2 C2 tan2 T2 2sin cos cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 2010 南京市第九中学高三调研测试 已知cosx 则sin2x的值为 解析 答案 1 设f tanx tan2x 则f 2 等于 解析 f tanx tan2x 求f 2 即令tanx 2 答案 2 函数f x cosx cos2x x R 的最大值等于 解析 原式 f x cosx 2cos2x 1 cosx cos2x x R 1 cosx 1 cosx 时 f x max 答案 3 函数y 2cos2x 1 x R 的最小正周期为 解析 y 2cos2x 1 cos2x 2 T 答案 4 已知 2 则cos等于 用cos 表示 解析 2 又 cos 2cos2 1 答案 5 1 三角函数式的化简 1 化简的要求 能求出值的应求出值 尽量使三角函数种数最少 尽量使项数最少 尽量使分母不含三角函数 尽量使被开方数不含三角函数 2 化简的方法 弦切互化 异名化同名 异角化同角 降幂或升幂等 2 已知三角函数式的值 求其他三角函数式的值 一般思路为 1 先化简所求式子 2 观察已知条件与所求式子之间的联系 从三角函数名及角入手 3 将已知条件代入所求式子 化简求值 例1 化简下列各式 思路点拨 1 若注意到化简式是开平方根和2 是 的二倍 是的二倍 则不难找到解题的突破口 2 注意到分子是一个平方差 分母中的角 则不难得到解题的切入点 解 1 2 cos cos 又 原式 sin 2 原式 1 化简 0 变式1 解 求值 1 sin6 sin42 sin66 sin78 2 tan10 sin40 变式2 解 1 原式 sin6 cos48 cos24 cos12 2 原式 sin40 1 1 证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异 角 函数 运算的差异 从解决某一差异入手 同时消除其他差异 确定从该等式的哪边证明 也可两边同时化简 当从解决差异方面不易入手时 可采用转换命题法或用分析法等 2 证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异 从解决这一差异入手 确定从结论开始 通过变换 将已知表达式代入得出结论 或通过变换已知条件得出结论 如果这两种方法都证不出来 可采用分析法 如果已知条件含参数 可采用消去参数法 如果已知条件是连比的式子 可采用换元法等 例2 浙江杭州调研 求证以下条件恒等式 1 已知 2sin sin cos sin2 2sin cos 求证 2cos2 cos2 2 已知 5sin 3sin 2 求证 tan 4tan 0 思路点拨 1 从条件式中消去 的正弦 余弦 然后推演 2 把条件中的角进行拆拼 使出现 及 然后推演 证明 1 由已知可得4sin2 1 2sin cos 1 sin2 1 sin2 2 4sin2 2 1 2sin2 由此得cos2 2cos2 故所证明等式成立 2 把5sin 3sin 2 化成5sin 3sin 得5sin cos 5cos sin 3sin cos 3cos sin 移项合并得2sin cos 8cos sin 0 依题意 k 且 k k Z 上式两边都除以2cos cos 即得tan 4tan 0 变式3 求证 sin cos 证明 证法一 左端 sin cos 右端 则原恒等式成立 证法二 设sin cos t 则左端 t 右端 则原恒等式成立 三角恒等变换是高考的重点 要求能正确运用三角公式进行简单的化简 求值 证明 在高考中 常以填空题 解答题的形式出现 难度以中低档题为主 有时也以此为载体 与向量 不等式等相联系 出综合题 主要考查学生对三角知识的掌握程度和灵活应变能力 例3 化简sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 思路点拨 三角函数式化简的目标是 1 次数尽可能低 2 角尽可能少 3 三角函数名称尽可能统一 4 项数尽可能少 观察欲化简的式子发现 1 有降次的可能 2 涉及的角有 2 2 需要把2 化为 2 化为 3 函数名称为正弦 余弦 可以利用平方关系进行名称的统一 4 共有3项 需要减少项数 由于侧重的角度不同 出发点不同 故本题的化简方法不止一种 解 解法一 从角入手 原式 sin2 sin2 cos2 cos2 2cos2 1 2cos2 1 sin2 sin2 cos2 cos2 4cos2 cos2 2cos2 2cos2 1 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 sin2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 1 解法二 从 名 入手 异名化同名 原式 sin2 sin2 1 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 cos2 cos2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 解法三 从 幂 入手 利用降幂公式先降次 原式 1 cos2 cos2 cos2 cos2 1 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 解法四 从 形 入手 利用配方法 先对二次项配方 原式 sin sin cos cos 2 2sin sin cos cos cos2 cos2 cos2 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos 2 2 cos2 2cos2 1 变式4 已知0 为f x cos的最小正周期 a b cos 2 且a b m 求的值 解 因为 为f x cos的最小正周期 故 因为a b m 又a b cos tan 2 故cos tan cos tan m 2 由于0 所以 2 2 m 规律方法总结 1 公式的熟与准 要依靠理解内涵 明确联系应用练习尝试 不可以机械记忆 因为精通的目的在于应用 2 要重视对于遇到的问题中角 函数名及其整体结构的分析 提高公式选择的恰当性 有利于缩短运算程序 提高学习效率 3 角的变换体现出将未知转化为已知的思想方法 这是解决三角中关于角的变换问题常用的数学方法之一 4 三角恒等式的证明实际上就是三角函数式的化简过程 5 有条件的三角函数求值有两个关键 1 三角函数各关系式及常用公式的熟练应用 2 条件的合理应用 注意条件的整体功能 注意角的合理配置 注意将条件适当简化 整理或重新改造组合 使其与所计算的式子更加吻合 方便使用 例4 本小题满分14分 已知2 求y cos 6sin 的最小值与最大值 答卷实录 错因分析 上述解法错误在于进行变量替换时 忽视了新变量t的范围 正确答案 解 由t sin 及正弦函数的性质知t 1 1 所以经换元后 原题变为求y 2t2 6t 1在区间 1 1 上的最值 函数y 2t2 6t 1的图象的对称轴为t 1 1 y的最值在闭区间端点处取得 当t 1时 ymax 7 当t 1时 ymin 5 当sin 1 函数取得最大值7 当sin 1时 函数取得最小值 5 所以最小值为 5 最大值为7 1 化简分析 应注意和差角公式和倍角公式的正用与逆用 解 原式 1 2 已知tan 2tan 求证 3sin sin 2 分析 从函数名称的差异上考虑可以将正切化为正弦 从角的差异上考虑可以将目