2020届新高考数学艺考生第六章立体几何第7节立体几何中的向量方法第2课时求空间角和距离冲关训练.docx

第2课时 求空间角和距离1(2019上海市一模)如图，点A、B、C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，(0,0,2)，平面ABC的法向量为n(2,1,2)，设二面角CABO的大小为，则cos ()AB.C.D解析：C点A、B、C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，(0,0,2)，平面ABC的法向量为n(2,1,2)，二面角CABO的大小为，cos .故选C.2(2019金华市模拟)在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2,1)，已知点P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A4 B2 C3 D1解析：B由已知平面OAB的一条斜线的方向向量(1,3,2)，所以点P到平面OAB的距离d|cos，n|2. 故选B.3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AC2，BC，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A. B. C. D.解析：AAB1，AC2，BC，AC2BC2AB2，ABBC.三棱柱为直三棱柱，BB1平面ABC.以B为原点，BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则A(0,1,0)，C(，0,0)设B1(0,0，a)，则C1(，0，a)，D，E，平面BB1C1C的法向量(0,1,0)设直线DE与平面BB1C1C所成的角为，则sin |cos，|，.4已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AC1，CB，侧棱AA11，侧面AA1B1B的两条对角线交于点D，则平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余弦值为()A B C. D.解析：A建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，B(，0,0)，A(0,1,0)，B1(，0,1)，D，(，0,0)，(，1,0)，(0,0,1)设平面CBD和平面B1BD的法向量分别为n1，n2，可得n1(0,1，1)，n2(1，0)，所以cosn1，n2，又平面B1BD与平面CBD所成的二面角的平面角与n1，n2互补，故平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余弦值为.故选A.5如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小为60，则AD的长为()A. B. C2 D.解析：A如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)设ADa，则D点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)设平面B1CD的法向量为m(x，y，z)由，得，令z1，则m(a,1，1)又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)，则由 cos 60，得，解得a，所以AD.故选A.6如图，在正方形ABCD中，EFAB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AEEDAD11，则AF与CE所成角的余弦值为_解析：AEEDAD11，AEED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设ABEFCD2，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0,2,1)，(1,2,0)，(0,2,1)，cos，AF与CE所成角的余弦值为.答案：7正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为_解析：以C为原点建立坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)，C1(0,0,2)点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2.所以(2,0,2)，设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为，则cos .又，所以.答案：8设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是_解析：如图建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0) .设平面A1BD的一个法向量n(x，y，z)，则.令x1，则n(1，1，1)，点D1到平面A1BD的距离d.答案：9(2019乌鲁木齐一模)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AA1ACAB，M，N分别为BC，A1C1的中点(1)求证AMBN；(2)求二面角B1BNA1的余弦值解：(1)证明：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立如图空间直角坐标系Axyz，设AB1，则AA1AC，A(0,0,0)，M，B(1,0,0)，N，A1(0,0，)，B1(1,0，)，00，AMBN.(2)直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1AM，又AMBN，AM平面BB1N，设平面A1BN的法向量为m(x，y，z)，(1,0，)，则，取z1，得m(，0,1)，设二面角B1BNA1的平面角为，则cos .二面角B1BNA1的余弦值为.10(2019赤峰市模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1底面ABC，A1AC60，AC2AA14，点D，E分别是AA1，BC的中点(1)证明：DE平面A1B1C；(2)若AB2，BAC60，求二面角BAA1E的余弦值解：(1)证明：取AC的中点F，连接DF，EF，E是BC的中点，EFAB，ABCA1B1C1是三棱柱，ABA1B1，EFA1B1，EF平面A1B1C，D是AA1的中点，DFA1C，DF平面A1B1C，又EFDEE，平面DEF平面A1B1C，DE平面A1B1C；(2)过点A1作A1OAC，垂足为O，连接OB，侧面ACC1A底面ABC，A1O平面ABC，A1OOB，A1OOC，A1AC60，AA12，OA1，OA1，AB2，OAB60，由余弦定理得，OB2OA2AB22OAABcosBAC3，OB，AOB90，OBAC，分别以OB，OC，OA为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz，由题设可得A(0，1,0)，C(0,3,0)，B(，0,0)，A1(0,