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南京工程学院教案【教学单元首页】第 1721 次课 授课学时 10学时 教案完成时间： 2009.8 章、节第五章 频率特性法第一节 频率特性的基本概念第二节 典型环节和系统的频率特性第三节 用实验法确定系统的传递函数第四节 用频率特性法分析系统稳定性第五节 频率特性与系统性能的关系主要内容这一单元主要完成第五章频率特性法的教学内容。首先介绍频率特性的基本概念和频率特性分析法的基本分析方法，推导出系统在正弦信号作用下的稳态输出响应，介绍频率特性的表示方法福相频率特性曲线和对数频率特性曲线。然后介绍典型环节和系统的频率特性曲线的绘制。在此基础上介绍采根据系统开环福相频率特性曲线用奈奎斯特稳定判据判断闭环系统稳定性的方法。最后介绍频率特性法分析控制系统性能的方法，系统频域指标的求取，并用实例加以说明。目的与要求本单元的教学目的是让学生通过这一章的学习了解和掌握频率特性分析法分析控制系统性能的基本方法，掌握用频率特性法对控制系统稳定性、快速性和准确性的分析过程。要求学生了解和掌握典型环节和系统的频率特性曲线的绘制，掌握奈奎斯特稳定判据判断闭环系统稳定性的方法。熟悉系统的频率特性曲线与系统性能之间的关系。掌握根据控制系统频率特性分析系统性能的方法，并能求取系统的频域指标。重点与难点本单元的重点：采用频率法分析控制系统性能的基本思路，绘制开环系统的福相频率特性曲线和对数频率特性曲线。奈奎斯特稳定判据判断闭环系统稳定性。本单元的难点：系统对数频率特性图的绘制。教学方法与手段主要采用多媒体教学，有些重要的概念加板书解释。第五章 频率特性法 频率特性法是一种图解分析法，是通过系统的频率特性来分析系统性能的。第一节 频率特性的基本概念一、频率特性的定义G(s)R(s)C(s)设系统 在系统的输入端加上一正弦信号，通过时域法求系统的输出响应曲线： 系统输出响应： 设系统是稳定的，即特征方程所有根的实部均小于零。系统的稳态响应为 式中待定系数为： 得： 当线性系统的输入端加上一频率为的正弦信号时，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相位是频率的函数。0r(t)tcs(t)响应曲线如图所示： 定义： 系统的频率特性： 系统的幅频特性： 系统的相频特性： R+ucurci+_例 设输入 ，求图示电路的频率特性，并求该电路的稳态输出响应。 解 电路的传递函数为 频率特性： 幅频特性： 相频特性： 该电路的幅频特性和相频特性曲线：00()0A()可求得该电路的稳态输出为： tg频率特性可分为实频特性和虚频特性： 其中 0ReIm=0二、频率特性的几何表示法常见的频率特性曲线有以下两种。1幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线是以为变量，将幅频特性和相频特性同-20020-20dB/dec-40dB/dec-20dB/decL()/dB-90901101000.1()0时表示在复平面上，幅相频率特性曲线又称奈魁斯特曲线，简称奈氏图，也称极坐标图。2对数频率特性曲线对数频率特性曲线又称伯德图，它由对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线两部分组成。 第二节 典型环节与系统的频率特性 0ReImK一、典型环节的频率特性1比例环节传递函数 频率特性 幅频特性 相频特性 -2002020lgKL()/dB-9090110()0（1）奈氏图 它是实轴上的点。（2）伯德图 比例环节的对数幅频特性为 0ReIm2积分环节 传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相频特性： （1）奈氏图 奈氏图是一条与负-20020-20dB/decKL()/dB-909010.1()0虚轴重合的直线，。（2）伯徳图积分环节的对数幅频特性为 对数幅频特性曲线是的直线。相频特性曲线是的直线。 3微分环节0ReIm 传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相频特性： （1）奈氏图 奈氏图是一条与正虚轴重合的直线。-2002020dB/decKL()/dB-909010.1()0（2）伯德图 微分环节的对数幅频特性为 时，； 时，。 幅频特性是的直线。 相频特性曲线是的直线。0ReIm=00.707=1/T 4惯性环节 传递函数： 频率特性： -20020-20dB/decKL()/dB1T10T-90()0幅频特性： 相频特性： （1）奈氏图 可以证明，惯性环节的奈氏图是以为圆心，以为半径的半圆。（2）伯德图惯性环节的对数幅频特性为： 当 当 = ： 转折频率。用渐近线近似代替精确曲线所产生的最大误差值出现在处： 相频特性： 5一阶微分环节0ReIm=0 传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相频特性： -2002020dB/decKL()/dB1T10T90()0（1）奈氏图 是一条平行于虚轴的直线，随着的增加，实部不变，虚部增加。（2）伯德图一阶微分环节的对数幅频特性： 相频特性： 6振荡环节 传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相频特性： -tg 0ReIm=0=0.6=0.8=0.4（1）奈氏图取特殊点： （2）伯德图-20020-40dB/decKL()/dB1T10T-180()0 振荡环节的对数幅频特性当： 当： 称为振荡环节的转折频率。 当较小时，对数幅频特性曲线出现了峰值，称为谐振峰值，对应的频率称为谐振频率。可得： 10Re=0Im7时滞环节 传递函数 频率特性 -20020L()/dB 幅频特性 相频特性 （1）奈氏图 -100-200()0-300 （2）伯德图 时滞环节的对数幅频特性 8非最小相位环节最小相位环节：开环传递函数中没有右半平面上的极点和零点。非最小相位环节：开环传递函数中含有右半平面上的极点或零点。 传递函数 频率特性 幅频特性 相频特性 tg 其幅频特性与惯性环节完全一样，而相频特性却大不相同。非最小相位环节的相位滞后大于最小相位环节的相位滞后。常用典型环节伯德图（渐近线）特征表环节传递函数斜率特殊点比例0积分-20重积分-40惯性0，-20转折频率比例微分0，20转折频率振荡0，-40转折频率二、控制系统开环频率特性绘制系统的开环频率特性曲线尤为重要。1系统开环幅相频率特性曲线系统的开环传递函数可看作由典型环节串联而成，一般可表示为 幅频特性和相频特性的一般表达式： 近似绘制系统的奈氏图：先把特殊点找出来，然后用平滑曲线将它们连接起来即可。（1）0型系统 取奈氏曲线的起点和终点：时， 时， （2）型系统 取奈氏曲线的起点和终点：时， 时， （3）II型系统 取奈氏曲线的起点和终点：时， n-m=1n-m=3=n-m=2Re0Im 时， =1=0=3Re0=2Im0ReIm=0= 例 ，试绘制系统的奈氏图。 解 为I型系统。 幅频特性 相频特性 tg 例 已知系统，试画出该系统的开环幅相特性曲线。解 幅频特性 相频特性 tgtg0ReIm=0 1）设 特殊点： ： ： 2）设0ReIm=0特殊点： ： ： 2系统开环对数频率特性 系统的开环传递函数是由典型环节串联而成的，即 系统的频率特性： 系统的对数幅频特性： 系统的对数相频特性： -40dB/decL()/dB-200204010.5.510-90()0-90-20dB/dec-20dB/dec 例 已知系统，试画出系统的开环对数频率特性曲线。解 先将标准化 作图过程为： （1）将开环传递函数标准化； （2）找出各环节的转折频率，且按大小顺序在坐标中标出来； （3）过，这点，作斜率为的低频渐近线； （4）从低频渐近线开始，每到某一环节的转折频率处，就根据该环节的特性改变一次渐近线的斜率； （5）根据系统的开环对数相频特性的表达式，画出对数相频特性的近似曲线。 例 某系统 试画出该系统的伯德图。 解 将传递函数标准化 L()/dB-20020401202-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-40dB/dec-180()0-90 确定低频段曲线： 时，； 时， 第三节 用实验法确定系统的传递函数 用实验的方法来确定系统的传递函数：首先通过实验测得系统的频率特性，并画出系统的伯德图。然后，再根据伯德图确定系统的传递函数。L()/dB-20020401102-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec-180()0-90-270一、用实验的方法确定系统伯德图具体步骤如下：（1）在规定的频率范围内，给被测系统施加不同频率的正弦信号，并测量出系统的稳态输出幅值和相位值。（2）用斜率为、等的直线近似被测对数幅频特性曲线，得到系统的对数幅频特性曲线的渐近线。二、根据伯德图确定传递函数系统传递函数的一般表达式为： L()/dB0x-20dB/dec-40dB/dec20lgKc1L=0 系统如图所示： 故 01L()/dB-20dB/dec-40dB/dec20lgKco12L=1 系统如图所示： 3L=21-20dB/dec-40dB/dec20lgKco0L()/dB1 例 经实测数据，并作出系统的伯德图如图所示，试求系统的传递函数。L()/dB-200204010.5.510-40dB/dec-20dB/dec3dB-60dB/dec23.16-180()0-90-270解 由伯德图可知， 由图可见，； ； 。故系统的传递函数为 第四节 用频率特性法分析系统稳定性用频率特性法分析系统的稳定性，是根据系统的开环频率特性来判断相应闭环系统的稳定性，还可以确定系统的相对稳定性。一、频率特性和闭环特征式的关系设系统的传递函数为 二、相角变化量和系统稳定性的关系1相角变化量 （）： 由 （）： 由 2系统特征方程式的相角变化量 如果系统开环是稳定的则 设闭环系统稳定 有 如果系统开环传递函数有个不稳定极点，（）个稳定极点， 设系统闭环稳定: 三、奈魁斯特稳定判据奈氏稳定判据：若开环传递函数有个不稳定的极点，则闭环系统稳定的充要条件是，当由时，系统开环幅相特性曲线逆时针方向绕点的周数，即转过。否则，闭环系统不稳定。0ReIm=0=-1 例 已知系统的曲线如图所示，其中为开环不稳定极点的个数，试判断系统的稳定性。0ReIm=0=-1 系统不稳定。 系统是稳定的。四、G(s)H(s)中含有积分环节时的奈氏判据曲线修正：若开环传递函数含有个积分环节，从开始逆时钟方向补画一个半径无穷大，相角为的大圆弧，的曲线。 例 已知系统，试用奈氏稳定判据判断系统的稳定性。=00ReIm=-1=0+解 系统开环频率特性为 曲线顺时针方向绕过点，系统不稳定。奈氏稳定判据可用穿越数来判断：设曲线对负实轴上点至区段的正穿越次数为，负穿越次数为，系统闭环稳定的充要条件：五、对数频率稳定判据 例 设系统的开环传递函数为 试用奈氏稳定判据和对数频率稳定判据判别闭环系统的稳定性。=00ReIm=-1=0+ 解 绘出系统奈氏曲线， 令虚部等于零 曲线与负实轴有一交点，因为1，所以系统不稳定。 六、 系统的相对稳定性及稳定裕量用相位裕量和幅值裕量两个性能指标来衡量系统的相对稳定性。1相位裕量r 相位裕量:模值为1的矢量与负实轴之间的夹角。 c0ReIm-1Kg1 ：闭环系统不稳定。 ：闭环系统稳定， 2幅值裕量Kg 幅值裕量：开环频率特性的相角时，开环频率特性的幅值 的倒数。 ：闭环系统稳定。 ：闭环系统不稳定。 例 某砂轮位置控制系统的结构如图所示。为了减小系统的稳态误差，取试绘制系统开环的伯德图，并确定系统的相位稳定裕量。1s(0.25s+1)(0.1s+1)_r(s)c(s)K解 根据开环传递函数绘制出系统伯德图如图。L()/dB-20020404106.32-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec-180()0-90-270 用近似计算式确定： 第五节 频率特性与系统性能的关系 一、开环频率特性与闭环系统性能的关系频率特性法的主要特点：根据系统的开环频率特性分析闭环系统的性能。通常将开环频率特性分成低频段、中频段和高频段三个频段：-20dB/dec-40dB/dec低频段2o0L()/dB1中频段高频段1低频段开环对数频率特性的低频段，主要由积分环节和放大环节来确定。积分环节的个数确定了低频段的斜率。开环增益确定曲线的高度。系统的型别以及开环增益与系统的稳态误差有关，低频段的数学模型可近似表示为 =0K0L()/dB=1K=2 低频段反映了系统的稳态性能：对数幅频特性曲线的位置越高，说明开环增益越大；低频渐近线斜率越负，说明积分环节数越多； 2中频段中频段反映了系统动态响应的平稳性和快速性。-20dB/dec0L()/dBc（1）穿越频率与动态性能的关系设开环系统中频段斜率为，且中频段比较宽。可近似认为整个曲线是一条斜率为的直线。其对应的传递函数为 调节时间 越大，就越小，系统响应就越快。穿越频率反映了系统响应的快速性。（2）中频段的斜率与动态性能的关系设系统开环对数幅频特性曲线的中频段斜率为，且中频段较宽。则可近似认为整个曲线是一条斜率为的直线。-40dB/dec0L()/dBc 含有一对共轭虚根，这相当于无阻尼二阶系统，动态过程持续振荡，系统处于临界稳定状态。通常，取中频段斜率为。 3高频段在开环幅频特性的高频段，一般 可见，闭环幅频特性与开环幅频特性近似相等。 系统开环对数幅频特性在高频段的幅值，直接反映了系统对输入端高频干扰信号的抑制能力。高频段的分贝值越低，表明系统的抗干扰能力越强。高频段的转折频率对应着系统的小时间常数，因而对系统动态性能的影响不大。4二阶系统开环频率特性与动态性能的关系典型二阶系统的开环传递函数为 系统的开环频率特性为 -20dB/dec-40dB/dec0L()/dBc-180()0-90n2 （1）相位裕量和超调量之间的关系 取正值得 相位裕量 tg 当时， 可近似地视为每增加，增加，即有 （2）、与之间的关系时域分析的结果： 在不变时，穿越频率越大，调节时间越短。例 采用频率法求出系统的频域指标和时域指标。解（1）某随动系统的结构和参数如图所示：20s(0.5s+1)_r(s)c(s)-180()0-90-20dB/dec-40dB/dec0L()/dBc2由幅频值近似算式： 相位稳定裕量 （2）在系统前向通道中加入比例微分环节。_r(s)c(s)s+120s(0.5s+1)1）当时 系统的开环传递函数为 -180()0-90-20dB/dec-40dB/dec0L()/dBc2100 系统的开环对数频率特性曲线如图： 总的来说，因为加入的比例微分环节的转折频率远大于穿越频率，故对系统性能的影响不太明显。2）若取，则系统的开环传递函数为L()/dB c0-20dB/dec-40dB/dec52 开环对数频率特性曲线如图：-900() -180 ，即，不符合条件，通过求闭环传递函数来求性能指标。闭环传递函数 第五节 用频率法分析系统性能