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一 一个方程所确定的隐函数及其导数 二 方程组的情形 第五节隐函数的求导方法 本节讨论 1 方程在什么条件下才能确定隐函数 例如 方程 当C 0时 能确定隐函数 当C 0时 不能确定隐函数 2 在方程能确定隐函数时 研究其连续性 可微性 及求导方法问题 一 一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1 设函数 则方程 单值连续函数y f x 并有连续 隐函数求导公式 定理证明从略 仅就求导公式推导如下 具有连续的偏导数 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 满足条件 导数 两边对x求导 在 的某邻域内 则 解 设F x y x2 y2 1 Fx 2x Fy 2y F 0 1 0 Fy 0 1 2 0 则 由隐函数存在定理 方程x2 y2 1 0在点 0 1 的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数 当x 0时y 1的隐函数y f x 例1验证方程x2 y2 1 0在点 0 1 的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数 当x 0时y 1的隐函数y f x 并求这函数的一阶与二阶导数在x 0的值 例2 已知方程 在点 0 0 某邻域 确定一个单值可导隐函数 解 令 则 求 定理2 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数z f x y 定理证明从略 仅就求导公式推导如下 满足 在点 满足 某一邻域内可唯一确 两边对x求偏导 同样可得 则 例3 设 解法1利用隐函数求导 再对x求导 解法2利用公式 设 则 两边对x求偏导 例4 设F x y 具有连续偏导数 解利用偏导数公式 确定的隐函数 则 已知方程 故 二 方程组所确定的隐函数组及其导数 在一定条件下方程组F x y u v 0 G x y u v 0能确定一对二元函数u u x y v v x y 例如 方程xu yv 0和yu xv 1可以确定两个二元函数 事实上 能否根据原方程组求u u x y v v x y 的偏导数 隐函数存在定理3 设 在 点 的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数 且 且偏导数所组成的函数行列式 或称雅可比式 在点 不等于零 则方程组 的单值连续函数 且有偏导数公式 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 定理证明略 仅推导偏导数公式如下 P34 P35 有隐函数组 则 两边对x求导得 设方程组 在点P的某邻域内 故得 系数行列式 解 二元线性代数方程组解的公式 同样可得 例5 设 解 方程组两边对x求导 并移项得 求 练习 求 答案 由题设 故有 例6 设 是由方程 和 所确
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