高一数学函数与方程.ppt

必修1 第三章函数的应用 第8讲 函数与方程 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程的根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 结合具体函数的图象 能用二分法求近似解 1 若函数f x ax b b 0 有一个零点 那么函数g x bx2 3ax的零点是 0 1 因为函数f x ax b b 0 的零点是 所以x 3是方程ax b 0的根 所以b 3a 将它代入函数g x bx2 3ax中 可得g x bx x 1 令g x 0 得x 0或x 1 2 已知函数f x x3 x 1仅有一个正零点 则此零点所在区间是 C A 3 4 B 2 3 C 1 2 D 0 1 利用零点存在的判定条件 判断零点存在的区间 由于f 0 10 f 3 23 0 f 4 59 0 根据选择支只有区间 1 2 满足 3 函数f x 3ax 1 2a 在区间 1 1 上存在一个零点 则a的取值范围是 C A 1C a 或a 1D a 1 令f 1 f 1 或a 1 故选C 4 已知函数f x x log2x 若实数x0是方程f x 0的解 且0 x1 x0 则f x1 的值为 A A 恒为正值B 等于0C 恒为负值D 不大于0 因为f x 在定义域 0 上单调递减 当x 0时 f x 因为f x0 0 所以f x 0只有一个实根 所以当00恒成立 故选A 5 设a b c均为正数 且2a loga b logb c log2c 则a b c的大小关系是 c a b 考察函数f x 2x与g x logx的图象的交点知 1 所以c a b 1 函数的零点 1 对于函数y f x 我们把使 叫做函数y f x 的零点 2 方程f x 0有实根 函数y f x 的图象 函数y f x 3 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且 那么 函数y f x 在区间 a b 内有 即存在c a b 使得 这个c也就是方程f x 0的根 f x 0的实数x 与x轴有交点 有零点 f a f b 0 零点 f c 0 2 二分法 1 对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做 2 给定精确度 用二分法求函数f x 的零点近似值的步骤如下 一分为二 零点 二分法 第一步 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 第二步 求区间 a b 的中点c 第三步 计算f c 若f c 0 则c就是函数的零点 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 第四步 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复第二 三 四步 题型一函数零点的判断 例1 1 已知区间 2 1 1 0 0 1 1 2 2 3 则三次方程x3 x2 2x 1 0在哪些区间上有根 2 判断方程3x x2 2x 1 0根的个数及符号 1 令f x x3 x2 2x 1 则f 2 f 1 1 1 1 0 所以方程在 2 1 上有根 同理 皆可 故所求区间为 2 令y 3x y x2 2x 1 x 1 2 2 则原方程的根即为两函数图象交点的横坐标 如图 两交点的横坐标 一个小于0 一个等于0 故原方程有两个根 其一为负 其一为0 1 当方程的根可能存在的区间已知时 用零点存在定理判断即可 如 1 当根可能存在的区间未知时 要构造函数 观察图象 研究一个函数的零点 还是两个函数图象的交点 前提是函数能否易于作出图象 再如求x lgx 2的实根的个数 可考察函数y lgx y 2 x的交点的个数 2 两函数图象交点个数问题 常转化为一个函数的零点个数问题 进而由零点存在定理判断 必要时要考察函数的单调性 题型二函数零点的性质的应用 已知a R 函数f x x2 2ax 1 如果函数y f x 在区间 1 1 上有零点 求a的取值范围 例2 0 a 1 此时当a 1时 x 1 1 1 当a 1时 x 1 1 1 合乎题意 f x 在区间 1 1 上只有一个零点且不是f x 0的重根 此时有f 1 f 1 1或a0f 1 0f 1 0 1 1 综上知 函数f x x2 2ax 1在 1 1 上有零点 则a的取值范围是 1 1 a 则有 1 二次函数零点的个数就是方程ax2 bx c 0的实根个数 一般的 由 0 0 0判断 2 在闭区间上零点的个数应由零点判定定理及函数图象性质一并实施 题型三二分法 例3 用二分法求函数f x x3 x 1在区间 1 1 5 内的一个零点 精确度为0 1 由于f 1 1 1 1 10 所以f x 在区间 1 1 5 内存在零点 取区间 1 1 5 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算列表如下 因为 1 375 1 3125 0 0625 0 1 所以函数的零点落在区间长度小于0 1的区间 1 3125 1 375 内 故函数零点的近似值为1 3125 1 求函数零点的近似值的关键是判断二分法求值过程中 区间长度是否小于精确度 当区间长度小于精确度 时 运算结束 而此时取的中点值即为所求 当然也可取区间端点的另一个值 2 精确度 与 精确到 是两个不同的概念 精确度最后的结果不能四舍五入 而精确到只需区间两个端点的函数值满足条件 即取近似值之后相同 则此时四舍五入的值即为零点的近似解 1 二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根分布问题 既可以运用公式法先求出方程的根 再列出等价条件组 也可以引入二次函数 由函数的图象特征列出等价的条件组 应因题而异 优化解题的思路 2 函数与方程这一节内容渗透了丰富的数学思想方法 解题时需具有敏锐的观察力和较强的等价转化问题的能力 把复杂的问题化归为二次方程或二次函数问题 再运用等价转化思想 函数与方程思想 分离参数方法 分类讨论思