福建省泉州市泉港三川中学九年级数学下册《二次函数》同步辅导（3） 华东师大版.doc

二次函数同步辅导3 错例分析在解决与二次函数有关的问题时，往往由于审题不清、考虑不周而错解，为帮助大家纠正错误,正确灵活地应用二次函数的图像及性质，解决有关二次函数问题,现将常见原因所造成的错误剖析如下：例1：不论x为何值，函数y=ax2+bx+c（a0）的值恒大于0的条件是（）a、a0，0 b、a0，0 c、a0，0 d、a0，0错解：选c正解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为正，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a0且0故选b点拨：当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点例2：下列命题：若a+b+c=0，则b2-4ac0；若ba+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c有两个不相等的实数根；若b2-4ac0，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3其中正确的是（）a、 只有 b、只有 c、只有 d、只有错解：选c正解：b2-4ac=（-a-c）2-4ac=（a-c）20，正确；中由ba+c不能推出结论，错误；b2-4ac=4a2+9c2+12ac-4ac=4（a+c）2+5c2，因为a0，故（a+c）2与c2不会同时为0，所以b2-4ac0，正确；二次函数与y轴必有一个交点，而这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，故正确故选b点拨：小题利用移项与变形b2-4ac与0的大小关系解决；处理第小题时不要疏忽二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点情况例3. （2011江苏无锡）如图，抛物线y = x2 + 1与双曲线y = 的交点a的横坐（第3题）xya标是1，则关于x的不等式 + x2 + 1 1 bx 1 c0 x 1 d1 x 1正解： + x2 + 1 0 -（x2 + 1）所求不等式的解就是：y1 = 与y2 = -（x2 + 1）图像上y1y2的x的取值范围。抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点a的横坐标是1，抛物线y=-（x2+1）与双曲线y=的交点b的横坐标是-1，(如右图所示)关于x的不等式+x2+10的解集是-1x0故选d点评：本题主要考查了二次函数与不等式解答此题时，用数形结合根据图象解不等式。难点在于要找y=x2+1关于x轴对称的图像y2 = -（x2 + 1）是个难点。例4：关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：当c=0时，函数的图象经过原点；当c0，且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；函数图象最高点的纵坐标是；当b=0时，函数的图象关于y轴对称其中正确命题的个数是（）a、1个 b、2个 c、3个 d、4个错解：选c正解：（1）c是二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点，所以当c=0时，函数的图象经过原点；（2）c0时，二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的正半轴，又因为函数的图象开口向下，画草图可知方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；（3）当a0时，函数图象最高点的纵坐标是；当a0时，函数图象最低点的纵坐标是；（4）当b=0时，二次函数y=ax2+bx+c变为y=ax2+c，又因为y=ax2+c的图象与y=ax2图象相同，所以当b=0时，函数的图象关于y轴对称四个都正确，故选d点拨：注意，二次函数y=ax2+bx+c的最值：当a0时，函数的最大值是；当a0时，函数的最小值是一点就通二次函数的轴对称性很重要，若能巧妙使用就会给解题带来方便。例二次函数当x4时有最小值3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。分析：因为二次函数当x4时有最小值3，所以顶点坐标为（4，3）。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点到对称轴的距离都是3.解：因为二次函数当x4时有最小值3，所以顶点坐标为（4，3），对称轴为直线x4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的横坐标是想x1=4-=1,x2=4+=7,所以：图象与x轴两交点为（1，0）和（7，0）。将（1，0）代入得0a(14)23, 解得 a y(x4)23 即yx2x 所求二次函数解析式为：yx2x 点评：此题关键在于利用对称轴找出抛物线与x轴的交点坐标，可用一般式解，也可以用双根式或顶点式或顶点坐标公式来解。典例剖析（2011张家界）如图，抛物线y=ax2+bx经过点a（-4，0）、b（-2，2），连接ob、ab，（1）求该抛物线的解析式（2）求证：oab是等腰直角三角形（3）将oab绕点o按逆时针方向旋转135，得到oab，写出ab的中点p的坐标，试判断点p是否在此抛物线上（4）在抛物线上是否存在这样的点m，使得四边形abom成直角梯形，若存在，请求出点m坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由分析：（1）将a（-4，0）、b（-2，2）代入抛物线解析式y=ax2+bx，列方程组求a、b的值即可；（2）根据所求抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，判断三角形的形状；（3）根据oab的形状，旋转方向，旋转角，画出图形，可求a、b的坐标，根据中点坐标公式求p的坐标，代入抛物线解析式进行判断；（4）存在过点o，作omab交抛物线于点m，根据oab为等腰直角三角形，可求直线om的解析式，与抛物线解析式联立，可求m点坐标，同理，过点a，作amob交抛物线于点m，联立方程组可求m的坐标，由图形的特殊性可知，两种情况下，梯形面积相等，根据梯形面积公式求解点评：本题考查了二次函数的综合运用关键是根据题意求抛物线解析式，根据解析式确定图形的特殊性指点迷津（福建福州2011）已知,如图11,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:对称.(1)求、两点坐标,并证明点在直线上;(2)求二次函数解析式;(3)过点作直线交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、,求和的最小值.图11备用图分析：（1）求出方程ax2+2ax-3a=0（a0），即可得到a点坐标和b点坐标；把a的坐标代入直线l即可判断a是否在直线上；（2）根据点h、b关于过a点的直线l： y=对称，得出ah=ab=4，过顶点h作hcab交ab于c点，求出ac和hc的长，得出顶点h的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；（3）解方程组y=和y=，即可求出k的坐标，根据点h、b关于直线ak对称，得出hn+mn的最小值是mb，过点k作直线ah的对称点q，连接qk，交直线ah于e，得到bm+mk的最小值是bq，即bq的长是hn+nm+mk的最小值，由勾股定理得qb=8，即可得出答案解:(1)依题意,得解得,点在点右侧点坐标为,点坐标为直线:当时,点在直线上(2)点、关于过点的直线:对称 过顶点作交于点则, 顶点 代入二次函数解析式,解得 二次函数解析式为(3)直线的解析式为 直线的解析式为由 解得 即,则 点、关于直线对称 的最小值是, 过点作直线的对称