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7 矩阵函数的性质及其应用一、矩阵函数的性质：设1proof: 由 对任何收敛。因而可以逐项求导。 可见，A与使可以交换的，由此可得到如下n个性质2设，则proof：，由而 令由于 为常数矩阵因而当时， . （）特别地 有有 同理有代入（）式 因而有3.利用绝对收敛级数的性质，可得4.二、矩阵函数在微分方程组中的应用常用于线性监测系统中1. 一阶线性常系数齐次方程组的通解 其中则有，其中解方程：解：原方程变为矩阵形式 由 得 2. 一阶线性常系数微分方程组的定解问题：:一阶线性常数微分方程组的定解问题：有唯一解proof:实际上，由的通解为将初值代入，得由可的定解问题的唯一解为求定解问题：,的解解：由 得对应的特征向量记为： 则，于是矩阵：练习：求微分方程组满足初始条件的解。解：令可求得，而的最小多项式。可设，由；3.一阶常系数非齐次方程组的定解问题： 其中两边同乘以得：从到上积分得：.求：非齐次微分方程组的解：其中 解：由 对应特征向量为： 得可逆矩阵 练习：求微分方程组满足初始条件的解。解：令可求得。可设，由；，。故：三、矩阵分析在求方程组最小二乘解等问题的应用。例4 设，证明：为函数：的极小值点的充要条件是为方程组的解或方程组 *的最小二乘解。证明：必要性：由于由于为的极小点，则应有即 这就是说是方程组*的代数方程组的解，也就是方程组*的最小二乘解。 充分性：是方程组*的最小二乘解，根据定义，它应该是函数的极小点。练习：设，且，方程有解，试求约束极小化问题的解，也就是求函数在约束下的极小点和极小值。解：引入Lagrange乘子，化成等价的无约束极值问题。令若为的极值点，则应有这说明极值点应满足方程 （*）注意到为正定矩阵，故必为的极小值点。在方程（*）两边左乘矩阵： 即 解该方程组便
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