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11 3二项式定理 知识梳理 1 二项式定理 2 二项展开式的通项 k 0 1 2 n 3 二项式系数的性质 1 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 2 二项式系数的前半部分是递增的 后半部分是递减的 且在中间取得最大值 当n为偶数时 正中间一项的二项式系数最大 当n为奇数时 正中间两项的二项式系数相等且为最大 3 所有二项式系数之和等于2n 所有奇数项的二项式系数之和与所有偶数项的二项式系数之和相等 且都等于2n 1 即 4 杨辉三角 11121133114641151010511615201561 1 每行两端的数都是1 2 每行与两端 等距离 的两数相等 3 在相邻的两行中 除1以外的每一个数都等于它 肩上 两个数的和 等等 拓展延伸 1 二项式定理是以公式的形式给出的一个恒等式 其中n是正整数 a b可以任意取值 也可以是代数式 2 二项展开式在结构上有如下一些基本特征 1 共有n 1项 2 字母a的最高次数为n且按降幂排列 字母b的最高次数为n且按升幂排列 3 各项中a与b的指数幂之和都是n 4 各项的二项式系数依次为 3 二项展开式中各项的系数与二项式系数是两个不同概念 各项的系数与a b的取值有关 各项的二项式系数与a b的取值无关 二项式系数的性质不能类推到二项展开式的系数 4 a b n的二项展开式的通项是 5 在 a bx n的展开式中 令x 1 可求得各项的系数之和 令a b 1 可得这是一种赋值的方法 考点分析 考点1利用通项公式解决二项展开式中的问题 例1已知展开式中前三项的系数成等差数列 求展开式中的所有有理项 例2已知展开式中的二项式系数之和比展开式中的二项式系数之和大992 在的展开式中 求 1 二项式系数最大的项 2 系数的绝对值最大的项 例3已知的展开式中x3的系数为 求a的值 解题要点 用公式确定通项的系数与幂指数 用方程思想求未知数的值 用待定系数法求项数 考点2求展开式的系数和 例4设求 1 2 例5设1 x x2 x3 x9 求的值 解题要点 利用赋值思想求系数和与常数项 通过比较求最高次项系数 考点3二项式定理的应用 例6设n N n 2 求证 1 2 例7求下列各数的近似值 精确到0 001 1 1 028 2 0 9986 例8求下列各式的和 1 2 解题要点
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