（浙江通用）高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和.doc

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示(q0)2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1.3等比中项若g2ab (ab0)，那么g叫做a与b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mn*)(2)若an为等比数列，且klmn (k，l，m，nn*)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为sn，当q1时，snna1；当q1时，sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为sn，则sn，s2nsn，s3ns2n仍成等比数列，其公比为 qn .【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nn*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)g为a，b的等比中项g2ab.()(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()(5)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为sn.()(6)数列an为等比数列，则s4，s8s4，s12s8成等比数列()1(2015课标全国)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7等于()a21 b42 c63 d84答案b解析设等比数列an的公比为q，则由a13，a1a3a521得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142，故选b.2设等比数列an的前n项和为sn.若s23，s415，则s6等于()a31 b32 c63 d64答案c解析根据题意知，等比数列an的公比不是1.由等比数列的性质，得(s4s2)2s2(s6s4)，即1223(s615)，解得s663.故选c.3等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于()a6 b5 c4 d3答案c解析数列lg an的前8项和s8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4lg(a4a5)4lg(25)44.4(2015安徽)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于 答案2n1解析由等比数列性质知a2a3a1a4，又a2a38，a1a49，所以联立方程解得或又数列an为递增数列，a11，a48，从而a1q38，q2.数列an的前n项和为sn2n1.5(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为 答案27,81解析设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327,27381.题型一等比数列基本量的运算例1(1)设an是由正数组成的等比数列，sn为其前n项和已知a2a41，s37，则s5等于()a. b. c. d.(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3 .答案(1)b(2)4或4解析(1)显然公比q1，由题意得解得或(舍去)，s5.(2)设等比数列an的公比为q(q0)，则两式相除，得，即2q25q20，解得q2或q.所以或故a34或a34.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解(1)在正项等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则等于()a. b.c. d.(2)(2015湖南)设sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3s1,2s2，s3成等差数列，则an .答案(1)d(2)3n1解析(1)设公比为q，则由题意知0q1，由得a43，a62，所以.(2)由3s1,2s2，s3成等差数列知，4s23s1s3，可得a33a2，所以公比q3，故等比数列通项ana1qn13n1.题型二等比数列的判定与证明例2设数列an的前n项和为sn，已知a11，sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由a11及sn14an2，有a1a2s24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1 (n2)，an12an2(an2an1) (n2)bnan12an，bn2bn1 (n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)解由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)，故an(3n1)2n2.引申探究例2中“sn14an2”改为“sn12sn(n1)”，其他不变探求数列an的通项公式解由已知得n2时，sn2sn1n.sn1sn2sn2sn11，an12an1，an112(an1)，又a11，当n1时上式也成立，故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列，an122n12n，an2n1.思维升华(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证设数列an的前n项和为sn，已知a12a23a3nan(n1)sn2n(nn*)(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列sn2是等比数列(1)解a12a23a3nan(n1)sn2n(nn*)，当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.综上，a24，a38.(2)证明a12a23a3nan(n1)sn2n(nn*)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)sn12(n1)得nan(n1)sn(n2)sn12n(snsn1)sn2sn12nansn2sn12.sn2sn120，即sn2sn12，sn22(sn12)s1240，sn120，2，故sn2是以4为首项，2为公比的等比数列题型三等比数列的性质及应用例3(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8 .(2)等比数列an的首项a11，前n项和为sn，若，则公比q .答案(1)(2)解析(1)由a6a10a3a541及a6a10a，a3a5a，得aa41.因为a4a85，所以(a4a8)2a2a4a8a412551.又an0，所以a4a8.(2)由，a11知公比q1，则可得.由等比数列前n项和的性质知s5，s10s5，s15s10成等比数列，且公比为q5，故q5，q.思维升华(1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若mnpq，则有amanapaq”，可以减少运算量(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列sk，s2ksk，s3ks2k，成等比数列，公比为qk(q1)(1)已知等比数列an的公比为正数，且a3a92a，a22，则a1等于()a. b.c. d2(2)等比数列an共有奇数项，所有奇数项和s奇255，所有偶数项和s偶126，末项是192，则首项a1等于()a1 b2c3 d4答案(1)c(2)c解析(1)由等比数列的性质得a3a9a2a，q0，a6a5，q，a1，故选c.(2)设等比数列an共有2k1(kn*)项，则a2k1192，则s奇a1a3a2k1a2k1(a2a4a2k)a2k1s偶a2k1192255，解得q2，而s奇255，解得a13，故选c.12分类讨论思想在等比数列中的应用典例(15分)已知首项为的等比数列an的前n项和为sn(nn*)，且2s2，s3,4s4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明：sn(nn*)思维点拨(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明规范解答(1)解设等比数列an的公比为q，因为2s2，s3,4s4成等差数列，所以s32s24s4s3，即s4s3s2s4，可得2a4a3，于是q.3分又a1，所以等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.5分(2)证明由(1)知，sn1n，sn1n10分当n为奇数时，sn随n的增大而减小，所以sns1.12分当n为偶数时，sn随n的增大而减小，所以sns2.14分故对于nn*，有sn.15分温馨提醒(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有已知sn与an的关系，要分n1，n2两种情况等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论项数的奇、偶数讨论等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别方法与技巧1已知等比数列an(1)数列can(c0)，|an|，a，也是等比数列(2)a1ana2an1amanm1.2判断数列为等比数列的方法(1)定义法：q(q是不等于0的常数，nn*)数列an是等比数列；也可用q(q是不等于0的常数，nn*，n2)数列an是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同(2)等比中项法：aanan2(anan1an20，nn*)数列an是等比数列失误与防范1特别注意q1时，snna1这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误4等比数列性质中：sn，s2nsn，s3ns2n也成等比数列，不能忽略条件q1.a组专项基础训练(时间：30分钟)1已知等比数列an中，a2a31，a4a52，则a6a7等于()a2 b2c4 d4答案c解析因为a2a3，a4a5，a6a7成等比数列，a2a31，a4a52，所以(a4a5)2(a2a3)(a6a7)，解得a6a74.2(2014重庆)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()aa1，a3，a9成等比数列ba2，a3，a6成等比数列ca2，a4，a8成等比数列da3，a6，a9成等比数列答案d解析设等比数列的公比为q，因为q3，即aa3a9，所以a3，a6，a9成等比数列故选d.3在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n等于()a12 b13c14 d15答案c解析设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以n14，故选c.4若正项数列an满足lg an11lg an，且a2 001a2 002a2 0102 016，则a2 011a2 012a2 020的值为()a2 0151010 b2 0151011c2 0161010 d2 0161011答案c解析lg an11lg an，lg 1，10，数列an是等比数列，a2 001a2 002a2 0102 016，a2 011a2 012a2 0201010(a2 001a2 002a2 010)2 0161010.5已知sn是等比数列an的前n项和，若存在mn*，满足9，则数列an的公比为()a2 b2c3 d3答案b解析设公比为q，若q1，则2，与题中条件矛盾，故q1.qm19，qm8.qm8，m3，q38，q2.6(2015浙江)已知an是等差数列，公差d不为零若a2，a3，a7成等比数列，且2a1a21，则a1 ，d .答案1解析因为a2，a3，a7成等比数列，所以aa2a7，即(a12d)2(a1d)(a16d)，a1d，2a1a21，2a1a1d1即3a1d1，a1，d1.7等比数列an的前n项和为sn，公比不为1.若a11，则对任意的nn*，都有an2an12an0，则s5 .答案11解析由题意知a3a22a10，设公比为q，则a1(q2q2)0.由q2q20解得q2或q1(舍去)，则s511.8已知数列an的首项为1，数列bn为等比数列且bn，若b10b112，则a21 .答案1 024解析b1a2，b2，a3b2a2b1b2，b3，a4b1b2b3，anb1b2b3bn1，a21b1b2b3b20(b10b11)102101 024.9数列bn满足：bn12bn2，bnan1an，且a12，a24.(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列an的前n项和sn.解(1)由bn12bn2，得bn122(bn2)，2，又b12a2a124，数列bn2是首项为4，公比为2的等比数列bn242n12n1，bn2n12.(2)由(1)知，anan1bn12n2 (n2)，an1an22n12 (n2)，a2a1222，an2(22232n)2(n1)，an(222232n)2n22n22n12n.sn2n2(n2n4)10等比数列an的前n项和sn，已知s37，a13,3a2，a34成等差数列(1)求数列an的公比q和通项an；(2)若an是递增数列，令bnlog2，求|b1|b2|bn|.解(1)由已知条件得或(2)若an是递增数列，则an12n，bnn7，当1n7时，|b1|b2|bn| (7i)；当n7时，|b1|b2|bn| (i7)2 (7i)42，|b1|b2|bn|b组专项能力提升(时间：20分钟)11设an是各项为正数的无穷数列，ai是边长为ai，ai1的矩形的面积(i1,2，)，则an为等比数列的充要条件是()aan是等比数列ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比数列ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同答案d解析aiaiai1，若an为等比数列，则为常数，即，.a1，a3，a5，a2n1，和a2，a4，a2n，成等比数列，且公比相等反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则q，从而an为等比数列12若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20 .答案50解析因为a10a11a9a122a10a