高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《1.1.1正弦定理》.pptVIP

课标要求 1 了解正弦定理的推导过程 2 掌握正弦定理 并能解决一些简单的三角形问题 核心扫描 1 利用正弦定理进行边角转化解决三角形问题 重点 2 已知两边和其中一边的对角判断三角形解的情况 难点 1 1 1正弦定理 1 1正弦定理和余弦定理 正弦定理 自学导引 正弦的比 1 尝试用向量方法证明正弦定理 当 ABC为直角三角形时 由三角函数定义知 显然成立 图2 图1 解三角形 1 把三角形的 和它们的 叫做三角形的元素 2 已知三角形的几个元素求 的过程叫做解三角形 2 三个角A B C 对边a b c 其他元素 在 ABC中 已知角A B和边a 利用正弦定理 你能求角C和边b c吗 正弦定理的常见变形 1 asinB bsinA asinC csinA bsinC csinB 2 三角形的边长之比等于对应角的正弦比 即a b c sinA sinB sinC 名师点睛 1 利用正弦定理解三角形常见的两种类型 1 已知两角与任一边 求其他两边和一角 2 已知两边与其中一边的对角 求另一边的对角 从而求出其他的边和角 如在 ABC中 已知a b和角A时 解的情况如下 2 题型一已知三角形的两角及一边解三角形 在 ABC中 已知a 8 B 60 C 75 求A b c 思路探索 先求角A 再用正弦定理求b和c 例1 已知三角形的两角和任一边解三角形 基本思路是 1 若所给边是已知角的对边时 可由正弦定理求另一角所对边 再由三角形内角和定理求出第三个角 2 若所给边不是已知角的对边时 先由三角形内角和定理求出第三个角 再由正弦定理求另外两边 在 ABC中 a 5 B 45 C 105 求边c 变式1 在 ABC中 分别根据下列条件解三角形 思路探索 解题的关键是判断解的个数 题型二已知两边及一边的对角解三角形 例2 利用正弦定理解决 已知三角形的任意两边与其中一边的对角求其他边与角 的问题时 可能出现一解 两解或无解的情况 应结合 三角形大边对大角 来判断解的情况 做到正确取舍 满足a 4 b 3和A 45 的 ABC的个数为 A 0个B 1个C 2个D 无数多个 b a B有一解 故 ABC的个数为1个 答案B 变式2 在 ABC中 若sinA 2sinBcosC 且sin2A sin2B sin2C 试判断 ABC的形状 思路探索 首先利用正弦定理将sin2A sin2B sin2C中的角的关系转化为边的关系 再利用内角和A B C 及三角函数的知识判断形状 题型三利用正弦定理判断三角形的形状 例3 A 90 B C 90 由sinA 2sinBcosC 得sin90 2sinBcos 90 B ABC是等腰直角三角形 sin2A sin2B sin2C a2 b2 c2 ABC是直角三角形且A 90 A 180 B C sinA 2sinBcosC sin B C 2sinBcosC sinBcosC cosBsinC 0 即sin B C 0 B C 0 即B C ABC是等腰直角三角形 题后反思 依据条件中的边角关系判断三角形的形状时 主要有以下两种途径 1 利用正弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角函数恒等变形得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用A B C 这个结论 在两种解法的等式变形中 一般两边不要约去公因式 应移项提取公因式 以免漏解 在 ABC中 已知a2tanB b2tanA 试判断 ABC的形状 sinAcosA sinBcosB 即sin2A sin2B 2A 2B或2A 2B 即A B或A B ABC为等腰三角形或直角三角形 变式3 12分 在锐角 ABC中 角A B C分别对应边a b c 且a 2bsinA 求cosA sinC的取值范围 审题指导本题综合考查了正弦定理 三角恒等变换及三角函数性质的应用 规范解答 设R为 ABC外接圆的半径 a 2bsinA 2RsinA 4RsinBsinA 题型四利用正弦定理求最值或范围 例4 题后反思 在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法 1 利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量 2 将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数 三角函数 从而转化为函数的值域或最值的问题 变式4 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B 试判断三角形的形状 错解 由已知得 a2 b2 sinAcosB cosAsinB a2 b2 sinAcosB cosAsinB 化简得a2cosAsinB b2sinAcosB 由正弦定理得sin2AcosAsinB sin2BsinAcosB 即sinAcosA sinBcosB 所以sin2A sin2B 所以2A 2B 即A B 故三角形是等腰三角形 示例 误区警示忽视等价转化而致误 当两个角的某三角函数值相等时 我们并不能肯定这两个角一定相等 一定要根据两个角的取值范围结合诱导公式写出所有的情况 正解 易得sin2A sin2B 所以A B或A B 所以 ABC是