回忆起了以前喜欢的平面几何.doc

回忆起了以前喜欢的平面几何，于是把我当时印象最深的几道题发一下，以此纪念曾经的爱好这里每一题我手头上都有至少两种以上的解法（当然，是纯几何证明方法，而不是使用正弦余弦定理或是代数方法或是高中解析几何的方法），其中每一题都有我自己的一个解法，不出意外，我的解法应该在网上或相关奥数书上找不到（找到了的话纯属巧合- -b），剩下的大部分是我同学的解法，估计第一题的一个解法是流传比较广的。先放题吧，解法我还要再整理整理，大家可以先试试。不过先声明，这3道题，别看它们图形都非常简单，可是，都不是那么容易的题，不要被它们的外表迷惑了。如果把它们比喻成淫类的话，都是城府极深滴淫。越不小看它们可能越容易解出来- -。反正每一题当年都花了不少的时间，而且还是在很有状态的日子里（以前做过的人或做出来的人别告诉我你只用了不到一小时。我会情何以堪的- -）PS：图都是用标准几何工具画的，非常精确，因为不画精确很容易得出错误结果，特别是第一题，顶角度数一画大了就会产生幻觉，然后一下子就做错了。1、如图，三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，顶角A为20度，D为AB边上一点，且AD=BC。求角ACD的度数。2、如图，三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，顶角A为100度，D为边AB延长线上一点，且AD=BC。求角BCD的度数。（大家可能发现了吧，前两题蛮相似的，这可能有助于解题）3、如图，有一个半圆O，A和B分别是它圆弧上任意两点（我故意把AB两点画的不一样高，原因就是为了突出“任意”二字，不让人产生特殊性的幻觉- -，这题解的是任意性的情况，而不是特殊性的情况，别把AB画的同样高或是假设它们是直径的两个点，那样就没意思了。），AC垂直于直径，垂足为C；BD也垂直于直径，垂足为D；BE又垂直于半径OA，垂足为E。求证：DE=AC。俺手头上的几种解法第一题1、该解法是我一高中同学的解法，与地道君的解法基本一样，就是构造的基础边不同，证明过程稍有区别。如图。以AB边在右边构造等边三角形ABE，再连接CE。AB=AC、AB=BE=AE，所以AC=AE=BE=AB，所以三角形ACE是个顶角为40度的等腰三角形（60-20=40）。所以，底角AEC为70度（180-40）2），所以角BEC为10度（70-60）。角CBE等于20度（80-60），所以它与角BAC相等，然后AD=BC、AC=BE，所以三角形ACD三角形BCE（边角边），所以角ACD就等于角BEC，所以它为10度。2、该解法是在网上搜到的，堪称最简洁方法，不知道是谁想出来的，强烈赞一个。如图，以BC边在该三角形内部构造一个小小的萝莉等边三角形BCE，再连接AE。此时我们可以快速证出AE是顶角BAC的角平分线，所以角CAE就等于10度。由等边三角形和AD=BC这两个条件可以证出CE=AD、角ACE=20度（80-60）=角DAC、公共边AC，所以三角形ACD三角形ACE，所以角ACD就等于角CAE，也就是10度。3、该解法是我本人想出来的，没有构造等边三角形，辅助线较多，所以证明过程比较繁琐些。智商有限啊，有时还是佩服那些使用构造法的人。如图，延长CB至E点，使CE=AC（虽然没构造等边三角形，但也算间接构造了一个巨大的等腰三角形CAE），连接DE，再在DE上截取DF=AD，连接AF、连接AE、连接CF。其中CF与AB交于G点。辅助线作完了（虽然我想精简一下我这个解法，但貌似怎么弄都一条都不能少，郁闷）。立刻可以证出BE=BD、角CEA=角CAE=50度、角BED角=角BDE=40度、角FEA=50-40=10度。然后，由DA=DF这个等腰三角形条件又可以立刻得出角DAF=角DFA=20度，所以角EAF=20-10=10度=角FAE，所以三角形DAF和三角形FAE也都是等腰三角形（好像证明出这些没啥用处= =，但是为了和谐美，还是全部都证出来吧）。好，现在还有几个等腰三角形我们可以证出来。CF公共边、CE=CA、FE=FA，所以三角形CFE三角形CFA，所以角FCE=角FCA=40度，再利用上面算出的很多角的度数，立刻可以得出三角形FCE和三角形FCA也都是等腰三角形。好，证等腰三角形上瘾了，继续吧。- -。由上面那么多证明出来的条件，可以轻易算出角DFG=80度，然后可以轻易证出三角形GBC三角形GFD（角角边），所以GC=GD，所以三角形GCD也是等腰三角形- -b（等腰三角形真多。）。而角BGC=60度（由上面证出的条件可轻易算出），所以，角GDC=角GCD=30度，所以角ACD=30-20=10度。呼，这个方法真是看着累啊。多多包涵一下。第二题1、该解法是我一初中同学的解法，此同学非第一题的那个高中同学，该同学当年想了5个小时才弄出来，不过叫我想5个小时我也想不出来。他的解法看着真的蛮爽的。如图，在CB上截取CE=CA（所以三角形CAE是等腰三角形），连接AE、连接DE，再作CF垂直于AE（所以F同时是等腰三角形中线，所以F是AE的中点）、作EG垂直于AD，再连接GF。不难证出三角形BDE是等腰三角形，所以角BDE=角BED=20度，所以角DEG=180-90-20=70度。由其他辅助线不难证出角FCE=角FCA=20度、角CEF=角CAF=70度。所以，角DEG=角CEF（条件1）。由上面的70度角一步便能算出角EAG=100-70=30度。结合一开始说的F是AE中点，那么GF就是直角三角形AGE的斜边中线，所以FG=FA，所以角AGF=30度，所以，角GFE=60度=角GEF，所以三角形GEF是个小小的萝莉等边三角形。所以EF=EG（条件2）。三角形CFE和三角形DGE都是直角三角形（条件3）。结合条件1条件2条件3，于是这两个直角三角形全等，所以它们的斜边相等，即EC=ED，所以三角形ECD是等腰三角形。于是结合第一步的证明，角BCD就等于20度的一半，也就是10度。2、下面是本人的解法，这个看着就比第一题的自己的方法要简洁一些了，不过，想出来远远不止5个小时了。如图，在CB上截取CE=CA，连接DE。再延长CA至F点，使CF=CB，再连接EF交AD于G点，再连接CG。不难证出三角形BDE是等腰三角形，所以角BDE=角BED=20度。与上一种解法一样，最后只需证出EC=ED就OK了。不过，这次貌似要证四次三角形全等。- -（想简化，但貌似都缺少不了。）首先由辅助线创造的条件可以一步证出三角形CEF三角形CAB，所以三角形CEF也是个顶角为100度的等腰三角形。同时也得出角F=角GBE=40度（条件1）。还是由辅助线创造的条件可一步证出AF=EB，对顶角角AGF=角EGB，结合条件1，得出三角形AGF三角形EGB，所以AG=EG（条件2）。公共边CG，CA=CE，再结合条件2，得出三角形CAG三角形CEG，所以角ACG=角ECG=40度的一半=20度（条件3）、角AGC=角EGC=180-100-20=60度（条件4）。由条件3可得出角ECG=角EDG（因为角EDG就是上面第一步中的20度角BDE）（条件5）。由条件4可得出角EGD=平角AGD-角AGC-角EGC=180-60-60=60度，所以角EGD=角EGC（条件6）。公共边GE，再结合条件5条件6可证明三角形EGD三角形EGC，从而证出了EC=ED。第三题1、该解法是第一题的那个高中同学想出来的，又是用了构造法。（构造法我这个苦手啊）如图，线连接OB，再分别以OA和OB为直径构造两个小圆，分别为圆1和圆2。立刻可以得出圆1和圆2同样大（条件1）。因为角BEO+角BDO=90+90=180度，所以很容易得出OEBD四点共圆，所以它们共的圆正好是圆2，同时还可得出角DBE+角DOE=180度（条件2）。而角AOC=平角COD-角DOE=180-角DOE，结合条件2可得出角AOE=角DBE（条件3）。在圆1中，AC是圆周角AOC所对应的弦；在圆2中，DE是圆周角DBE对应的弦。然后结合条件3，两个同样大的圆的相等的圆周角所对应的弦肯定相等。所以，DE=AC。2、我本人的解法，印象中当年想了一下午。该解法运用的是相似三角形的边的等比关系。如图，先连接OB，再过E点作EF垂直于OC，垂足为F（图中忘写F了）。与第一种解法一样，首先快速证出OEBD四点共圆。OE就是共圆的圆中的一条弦，而角OBE和角EDO都是由弦OE对应的圆周角，所以这两个角相等，也即角OBE=角EDO（即角EDF）。所以直角三角形OBE与直角三角形EDF相似。利用相似三角形对应边成比例关系，可得出DE/OB=EF/OE（等式1）。又直角三角形EOF和直角三角形AO